Bonjour,
1)a) Il suffit de remarquer que [tex]7 \equiv -1 \pmod 8[/tex], donc [tex]7^n \equiv (-1)^n \pmod 8[/tex] pour tout entier n.
Ainsi, si n pair : [tex]7^n \equiv 1 \pmod 8[/tex].
b) Supposons que (E) admette une solution paire, notée n. Alors : [tex]n \times 7^n+4n+1 \equiv0 \pmod 8[/tex].
Or, en utilisant [tex]7^n \equiv 1 \pmod8[/tex] : [tex]n \times 7^n+4n+1 \equiv n+4n+1 \equiv 5n+1 \pmod 8[/tex]
doù, en écrivant n=2k avec k entier naturel :
[tex]10k+1 \equiv 0 \pmod 8 \iff 2k+1\equiv 0\pmod8[/tex].
Donc 8 divise 2k+1, donc 2 divise 2k+1 (car 2 divise 8), donc 2k+1 est pair. C'est absurde car 2k+1 est impair.
Ainsi, (E) n'admet pas de solution paire.
2) On va raisonner par équivalences pour éviter d'avoir à vérifier à la fin que les solutions trouvées conviennent bien.
Soit n un entier impair, noté n=2k+1 avec k entier.
On a les équivalences suivantes :
[tex]\text{n solution de (E)} \iff n\times 7^n+4n+1\equiv 0 \pmod 8\\ \iff (2k+1)\times7^{2k}\times7+4(2k+1)+1\equiv 0 \pmod 8\\ \iff 22k+12 \equiv 0 \pmod 8 \iff 6k+4 \equiv 0 \pmod 8 \iff 2k \equiv 4 \pmod 8\\\iff 2k+1 \equiv 5\pmod8\iff \boxed{n\equiv 5 \pmod 8}[/tex]
Ainsi, les solutions de (E) sont exactement les entiers congrus à 5 modulo 8.
