moi626236
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Bonjour vous pouvez m'aider pour la question1 s'il vous plait je n'arrive pas à calculer la dérivée

Soit f la fonction définie sur (-3; 8) par f(x)=(x+3)e^-x
1) Déterminer les variations de f sur [-3; 8].
2) Donner l'équation réduite de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 0.
3) Etudier la convexité de f sur [-3; 8].
4) Construire l'allure de la courbe représentative de f sur [-3; 8], ainsi que la tangente à cette courbe au
point d'abscisse 0.

Sagot :

jpmorin3

bjr

f(x)=(x+3)e^-x

dérivée d'un produit uv

u : x + 3       v : e^-x

u' : 1             v': -1*e^-x

u'v + uv' :  1*e^-x -(x + 3)e^-x = e^-x -(x + 3)e^-x

pour étudier le signe

e^-x -(x + 3)e^-x = (1 - x - 3) e^-x

                           = -(x + 2)e^-x

caylus

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

1)

[tex]1)f'(x)=e^{-x}-(x+3)*e^{-x}\\=e^{-x}(1-x-3)\\=-e^{-x}(x+2)\\f''(x)=e^{-x}(x+1)\\f(0)=3\\f'(0)=-2\\2)\\y-3=(x-0)*(-2)\\y=-2x+3\\[/tex]

Etude de signe

[tex]\begin{array}{c|ccccccccccc}\\x&-\infty&&-3&&-2&&-1&&8&&\infty\\---&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-\\e^{-x}&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+&+\\x+3&-&-&0&+&+&+&+&+&+&+&+\\f'(x)&+&+&+&+&0&-&-&-&-&-&-\\f''(x)&-&-&-&-&-&-&0&+&+&+&+\\f(x)&\bigcap&\bigcap&\bigcap&\bigcap&0& \bigcup& \bigcup& \bigcup& \bigcup& \bigcup& \bigcup\\f(x)&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\nearrow&0&\searrow&\searrow&\searrow&\searrow&\searrow&\searrow\\\end{array}\\[/tex]

View image caylus
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