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bonsoir,
soit p appartient à N(p>1)
Montrer que 4p^4+1 n'est pas un nombre premier
Merci d avance​

Sagot :

Svant

4p⁴ + 1 = 4p⁴ + 4p² + 1 - 4p²

4p⁴ + 1 = (2p²+1)²-(2p)²

4p⁴ + 1 = (2p²+1-2p)(2p²+1+2p)

4p⁴ + 1 n'est pas premier si 2p²-2p+1 ≠ 1 et si 2p²+2p+1≠1 ce qui est vérifié pour p > 1 :

2p²-2p+1 = 2(p-0,5)²+0,5

p >1

p-0,5 > 0,5

(p-0,5)² > 0,25

2(p-0,5)² > 0,5

2(p-0,5)²+0,5 > 1

2p²+2p+1 = 2(p+0,5)²+2,5

p > 1

p+0,5 > 1,5

2(p+0,5)² + 2,5 > 7

donc 4p⁴+ 1 n'est pas premier avec p entier naturel strictement supérieur à 1.

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