Bonjour,
La racine carrée n'est définie que pour les réels positifs et diviser par 0 n'est pas définie donc, nous devons nous assurer que
1. [tex]x^2+4x-5\geq 0[/tex]
2.
[tex]3x^2-13x+4\text{ different de 0}\\\\\dfrac{x}{3x^2-13x+4} \geq 0[/tex]
Commençons par le 1.
[tex]x^2+4x-5=x^2-x+5x-5=x(x-1)+5(x-1)=(x+4)(x-1)[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|}\\x&&-4&&1&\\-----&---&---&---&---&---\\x+4&-&0&+&+&+\\-----&---&---&---&---&---\\x-1&-&-&-&0&+\\-----&---&---&---&---&---\\(x+4)(x-1)&+&0&-&0&+\\-----&---&---&---&---&---\\\end{array}[/tex]
Le domaine de définition de f est donc
[tex]\large \boxed{\sf \bf ]-\infty;-4]\cup[1;+\infty[}[/tex]
2.
[tex]3x^2-13x+4=3x^2-x-12x+4=x(3x-1)-4(3x-1)=(x-4)(3x-1)[/tex]
On peut aussi utiliser le discriminant pour factoriser en trouvant les racines.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}\\x&&0&&1/3&&4&\\-----&---&---&---&---&---&---&---\\x&-&0&+&+&+&+&+\\-----&---&---&---&---&---&---&---\\3x-1&-&-&-&0&+&+&+\\-----&---&---&---&---&---&---&---\\x-4&-&-&-&-&-&0&+\\-----&---&---&---&---&---&---&---\\\dfrac{x}{3x^2-13x+4}&-&0&+&||&-&||&+\\-----&---&---&---&---&---&---&---\end{array}[/tex]
Donc le domaine de définition de h est
[tex]\large \boxed{\sf \bf [0;\dfrac{1}{3}[\cup]4;+\infty[}[/tex]
Merci
