Bonjour,
1.
Si jamais tu as du mal avec la démonstration par récurrence, imagine le travail suivant.
Tu dois peindre tous les arbres le long d'une route et tu dois suivre deux instructions.
A ton avis, de quelle couleur seront tous les arbres?
Vois-tu pourquoi les deux conditions sont importantes?
Et la meilleure manière de faire comprendre au correcteur que tu maitrises ce concept est de bien rédiger la démonstration.
Introduction
Nous allons montrer par récurrence que pour tout entier naturel n
[tex]\forall z \in \mathbb{C} \ \ \overline{z^n}= \overline{z}^n[/tex]
Etape 1 -Initialisation
pour n = 0
[tex]\forall z \in \mathbb{C}\\ \\\overline{z^0}=\overline{1}=1=\overline{z}^0=1[/tex]
Donc c'est vrai
Etape 2 - Hérédité
Supposons que cela soit vrai au rang k et prouvons que c'est vrai au rang k+1
l'hypothèse de récurrence est
[tex]\forall z \in \mathbb{C}\\ \\\overline{z^k}=\overline{z}^k[/tex]
Et comme
[tex]\forall z \in \mathbb{C}\\ \\\overline{z^{k+1}}=\overline{z^kz}=\overline{z}\times \overline{z^k}\=\overline{z} \times \overline{z}^k[/tex]
par hyptohèse de récurrence et donc
[tex]\forall z \in \mathbb{C} \\ \\ \overline{z^{k+1}}=\overline{z^k \times z}=\overline{z} \times \overline{z^k}=\overline{z} \times \overline{z}^k=\overline{z}^{k+1}[/tex]
Donc c'est vrai au rang k+1
Conclusion
Nous devons de démontrer que [tex]\forall z \in \mathbb{C} \ \ \overline{z^n}= \overline{z}^n[/tex]
2.
Pour tout entier naturel n, appliquons le résultat précédent
[tex]\forall z \in \mathbb{C} \\\\\overline{z^n+\overline{z}^n}=\overline{z^n}+\overline{\overline{z}^n}\\\\=\overline{z}^n+\overline{\overline{z}}^n=\overline{z}^n+z^n[/tex]
Il s'agit d'un nombre complexe qui est égal à son conjugué donc c'est un nombre réel.
3.
[tex](2-i)^2=4-1-4i=3-4i=\overline{3+4i}[/tex]
Et on applique le résultat du 2.
Merci