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bonjour , j’ai un exercice et je n’y arrive pas du tout je l’écris alors : 1.determiner une équation cartésienne de la droite (AB) avec A(-2;-3) et B(5;2) 2. on considère les points C(3;-1) et D (6;-5). Le vecteur CD est il normal à (AB) 3.Determinez les coordonne du projeté orthogonale de E(10;-1) sur (AB). 4. Donnez les coordonnée d’un point F n’appartenant pas à (AB) dont le projete orthogonal sur (AB) est G(12;7). Merci d’avance

Sagot :

Svant

1.

[tex]\overrightarrow{AB}[/tex] dirige (AB)

[tex]\overrightarrow{AB}(5+2 ; 2+3)\\\overrightarrow{AB}(7; 5)\\[/tex]

Une équation cartésienne de droite est de la forme ax + by + c = 0

avec pour vecteur directeur [tex]\vec{u}(-b;a)[/tex]

Ainsi

5x-7y+c=0

et B(5;2) vérifie l'equation cartesienne de (AB)

5×5-7×2+c=0

25-14+c = 0

c = -11

Une équation cartésienne de(AB) est :

5x - 7y - 11 = 0

2.

[tex]\overrightarrow{CD}(6-3; -5+1)\\\overrightarrow{CD}(3;-4)\\[/tex]

[tex]\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}=3\times 7+(-4)\times 5\\\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}=21-20\\\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}=1[/tex]

Le produit scalaire [tex]\overrightarrow{CD}.\overrightarrow{AB}[/tex] n'est pas nul , donc [tex]\overrightarrow{CD}[/tex] n'est pas normal à (AB).

Déterminons l'équation cartésienne de la perpendiculaire à (AB) passant par E.

Soit M(x; y) un point de cette perpendiculaire alors

[tex]\overrightarrow{EM}.\overrightarrow{AB}=0[/tex]

[tex](x-10)\times7+(y+1)\times 5=0\\7x-70+5y+5=0\\7x+5y-65=0[/tex]

Une équation cartésienne de la perpendiculaire à (AB) passant par E est :

7x+5y-65=0

Le projeté orthogonal de E sur (AB) est le point d'intersection entre (EM) et (AB)

[tex]\left \{ {{5x-7y-11=0} \atop 7x+5y-65=0}} \right. \\\\\left \{ {{25x-35y-55=0} \atop 49x+35y-455=0}} \right. \\\\\\\left \{ {{5x-7y-11=0} \atop 74x-510=0}} \right. \\\\\\\left \{ {{5x-7y-11=0} \atop x=\frac{255}{37} }} \right. \\\\\left \{ {{5\times \frac{255}{37} -7y-11=0} \atop x=\frac{255}{37} }} \right. \\\\\left \{ {{\frac{268}{37} -7y=0} \atop x=\frac{255}{37} }} \right. \\\\\left \{ {{y=\frac{124}{37} } \atop x=\frac{255}{37} }} \right. \\\\[/tex]

Les coordonnées du projeté orthogonal de E sur (AB) sont [tex](\frac{255}{37};\frac{124}{37} )[/tex]

4. On cherche une droite parallèle à (EM) passant par G(12;7)

Elle a le même vecteur directeur et les coordonnées de G vérifient l'équation de la droite.

7x+5y+c=0

7×12+5×7+c=0

119+c=0

c=-119

7x+5y-119=0 est une équation cartésienne de la perpendiculaire à (AB) passant par G.

Si y = 0 alors 7x-119=0

7x=119

x=17

Vérifions si F(17;0) appartient à (AB)

5×17-7×0-11=74

Les coordonnées de F ne vérifient par l'équation cartésienne de (AB).

Le point F(17;0) n'appartient pas à (AB) est son projeté orthogonal sur (AB) est le point G(12;7)

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