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Bonjour j’aimerais avoir de l’aide pour ce dm svp , merci d’avance


Soit (Un) et (Vn) deux suites définies pour tout nombre naturel n, par:

Uo = 2
Un +1 = ( 2Un+Vn ) /2

Vo = 10
Vn +1 = ( Un + 3Vn ) /4

1//

a) Montrer que pour tout entier naturel n: Vn + 1 - Un + 1 = 5/12 ( Vn - Un )

b) Pour tout entier naturel n, on pose Wn = Vn - Un
Montrer que, pour tout entier naturel n,
Wn = 8 x ( 5/12) ^n


2//

a) Montrer que la suite (Un) est croissante et que la suite (Vn) est décroissante .

b) Montrer que pour tout entier naturel n,
on a:
Un et
Vn >ou = 2.

c) En déduire que les suites (Un) et (Vn) convergent.

3// Montrer que les suites (Un) et (Vn) ont la même limite.

4//

a) Montrer que la suite (Tn) définie, pour tout entier naturel n,
par Tn = 3Un+ 4Vn est constante

b) En déduire que la limite commune des suites (Un) et (Vn) est (46/7)

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ Uo = 2 ; Un+1 = (2Un + Vn) / 3

■ Vo = 10 ; Vn+1 = (Un + 3Vn) / 4

■ étude de la suite (Un) :

  Uo = 2 ; U1 = 14/3 ≈ 4,67 ; U2 = 52/9 ≈ 5,78 ; ...

■ étude de la suite (Vn) :

   Vo = 10 ; V1 = 8 ; V2 = 43/6 ≈ 7,17 ; ...

■ Vn+1 - Un+1 = (3/12) Un + (9/12) Vn - (8/12) Un - (4/12) Vn

                       = (5/12) Vn - (5/12) Un

                       = (5/12) (Vn - Un) .

■ Wn+1 = (5/12) Wn

  donc la suite (Wn) est bien une suite géométrique

  de terme initial Wo = 8 , et de raison q = 5/12 .

  Wo = 8 ; W1 = 10/3 ≈ 3,33 ; W2 = 25/18 ≈ 1,39 ; ...

■ Tn+1 = 3Un+1 + 4Vn+1 = 2Un + Vn + Un + 3Vn = 3Un + 4Vn

   donc la suite (Tn) est bien constante , égale à 3Uo + 4Vo = 46

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