Réponse :
1) déterminer l'expression de f(x) sous forme développée, forme canonique et forme factorisée
f(- 4) = 0 ; f(2) = 0 et f(0) = 8
f(x) = a x² + b x + c ; a, b et c des nombres réels
f(0) = c = 8
f(- 4) = 16 a - 4 b + 8 = 0 ⇔ 16 a - 4 b = - 8 ⇔ {16 a - 4 b = - 8
f(2) = 4 a + 2 b + 8 = 0 ⇔ 4 a + 2 b = - 8 ⇔ x 2 {8 a + 4 b = - 16
..................................
24 a + 0 x b = - 24
donc a = - 1
4 *(-1) + 2 b = - 8 ⇔ 2 b = - 4 ⇔ b = -4/2 = - 2
l'expression développée de f(x) = - x² - 2 x + 8
Forme canonique : S(- 1 ; 9) coordonnées du sommet de la parabole
f(x) = - (x + 1)² + 9
forme factorisée : - (x + 1)² + 9 = - ((x + 1)² - 9) = - ((x + 1)² - 3²) identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b)
= - (x + 1 + 3)(x + 1 - 3) = - (x + 4)(x - 2) = (2 - x)(x + 4)
forme factorisée : f(x) = (2 - x)(x + 4)
2) résoudre f(x) = 5 graphiquement puis par le calcul
graphiquement : les solutions de l'équation f(x) = 5 sont : S = {- 3 ; 1}
par le calcul f(x) = 5 ⇔ -(x + 1)² + 9 = 5 ⇔ - (x + 1)² + 4 = 0
⇔ - ((x + 1)² - 4) = 0 ⇔ - (x + 1 + 2)(x + 1 - 2) = 0 ⇔ (1 - x)(x + 3) = 0
1 - x = 0 ⇔ x = 1 ou x + 3 = 0 ⇔ x = - 3 ⇔ S = {- 3 ; 1}
3) résoudre f(x) ≥ 0
f(x) ≥ 0 ⇔ (2 - x)(x + 4) ≥ 0
x - ∞ - 4 2 + ∞
2 - x + + 0 -
x + 4 - 0 + +
f(x) - 0 + 0 -
l'ensemble des solutions est S = [- 4 ; 2]
5) résoudre en justifiant
- D est strictement au dessus de P
⇔ y - f(x) > 0 ⇔ x + 2 - (- x² - 2 x + 8) > 0 ⇔ x + 2 + x² + 2 x - 8 = 0
⇔ x² + 3 x - 6 > 0
Δ = 9 + 24 = 33
x1 = - 3 + √33)/2
x2 = - 3 - √33)/2
S = ]- ∞ ; - 3 - √33)/2[U]- 3 + √33)/2 ; + ∞[
D ∩ P : la solution sont les abscisses des points d'intersection de D avec P on écrit y = f (x) ⇔ S = {- 3 - √33)/2 ; - 3 + √33)/2}
Explications étape par étape