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En Maths expertes
Bonjour j’ai un exercice tel que :
Soit n=2^a*3^b sont deux entiers naturels
Déterminer le nombre de diviseurs de n dans N
Déterminer sachant que 12n a deux fois plus de diviseurs que n

J’ai déjà calculé en disant qu’à minima il y avait les diviseurs de 6 et pour 12n à minima les diviseurs de 72 mais je n’arrive pas à aller plus loin
En vous remerciant pour votre aide


Sagot :

Bonjour,

1) Déterminer le nombre de diviseurs de n.

C'est une question classique, pusiqu'on dispose de la décompositionen facteurs premiers de n :

[tex]n=2^a3^b[/tex].

Chaque diviseur de n s'écrira donc sous la forme [tex]2^k3^l[/tex] avec [tex]0 \le k \le a[/tex] et [tex]0 \le l \le b[/tex].

Pour le choix de l'exposant k, il y a donc a+1 possibilités, et pour le choix de l, il y en a b+1; pour un total de (a+1)(b+1) possibilités.

Ainsi, n possède (a+1)(b+1) diviseurs.

Ex : Avec a=1 et b=2, [tex]n=2^13^2=18[/tex], dont les diviseurs sont :

[tex]2^03^0=1, \,2^03^1=3,\, 2^03^2=9, \,2^13^0=2, \, 2^13^1=6, \, \text{ et }2^13^2=18[/tex]

ce qui nous fait bien [tex](1+1)(2+1)=6[/tex] diviseurs.

2) Déterminer n, sachant que 12n a deux fois plus de diviseurs que n.

On fait comme précédemment, pour déteminer le nombre de diviseurs de 12n.

[tex]12n=12\times 2^a3^b=2^23\times 2^a3^b=2^{a+2}3^{b+1}[/tex]

ce qui nous fait donc, avec la méthode précédente, (a+3)(b+2) diviseurs.

Or, on sait que 12n a en fait 2(a+1)(b+1) diviseurs, donc :

[tex]2(a+1)(b+1)=(a+3)(b+2) \iff 2ab+2a+2b+2=ab+2a+3b+6\\\iff ab-b=4 \iff (a-1)b=4=2^2[/tex]

donc soit a=2 et b=4, soit a=3 et b=2, soit a=5 et b=1., càd n=324 ou n=72 ou n=96.

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