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bonjour, je n'arrive pas à faire l'exercice 4, pourriez-vous m'aider svp?

Bonjour Je Narrive Pas À Faire Lexercice 4 Pourriezvous Maider Svp class=

Sagot :

Réponse :

EX4

Montrer que pour tout n ≥ 1,  1 + 2² + 3² + .... + n² = n(n+1)(2 n + 1)/6

Raisonnement par récurrence

soit P(n) : 1² + 2² + 3² + ...... + n² = n(n+1)(2 n + 1)/6

1) Initialisation : vérifions que P(1) est vraie

 1² + 2² + 3² + ..... + 1² = 1² = 1(1+1)(2*1 + 1)/6 = 2 x 3/6 = 1   donc  P(1) est vraie

2) Hérédité : soit un entier n ≥ 1

    supposons P(n) vraie et montrons que P(n+1) est vraie c'est à dire que

   1² + 2² + 3² + ...... + (n+1)² = (n + 1)(n + 2)(2 n + 3)/6

   1² + 2² + 3² + ...... + n² + (n + 1)² = n(n + 1)(2 n + 1)/6  + (n + 1)²

                                                      = (n(n+1)(2 n + 1) + 6(n+ 1)²)/6

                                                      = (n+1)(n(2 n + 1) + 6(n+1))/6

                                                      = (n + 1)(2 n² + n + 6 n + 6)/6

                                                      = (n+1)(2 n² + 7 n + 6)/6

développons (n+2)(2 n + 3) = 2 n² + 3 n + 4 n + 6 = 2 n² + 7 n + 6

donc  1²+2²+3²+ .....+ (n+1)² = (n+1)(n+2)(2 n +3)/6   ²donc  P(n+1) est vraie

3) Conclusion : P(1) est vraie  et P(n) est héréditaire à partir du rang 1

                          donc par récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ 1    

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