Bonjour,
C'est effectivement un peu difficile à aborder, puisqu'on ne voit pas trop où utiliser l'hypothèse de récurrence dans l'hérédité.
En fait, pour l'hérédité, il serait utile de pour pouvoir exprimer [tex]u_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]u_n[/tex]. En supposant la propriété vraie au rang n, il sera alors facile de la déduire au rang n+1.
On cherche donc à exprimer [tex]u_{n+1}[/tex] en fonction de [tex]u_n[/tex] (ce qui s'appelle d'ailleurs une formule de récurrence pour la suite) :
[tex]u_{n+1}=\frac{(n+1)((n+1)^2+5)}{6}=\frac{(n+1)(n^2+2n+6)}{6}=\frac{n^3+3n^2+8n+6}{6}=\frac{n^3+5n}{6}+\frac{3n^2+3n+6}{6}[/tex]
donc :
[tex]u_{n+1}=\frac{n(n^2+5)}{6}+\frac{n^2+n}{2}+1 \Rightarrow \boxed{u_{n+1}=u_n+\frac{n(n+1)}{2}+1}[/tex]
On peut maintenant montrer par récurrence sur [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la propriété H(n):"[tex]u_n[/tex] est un entier naturel."
Initialisation : n=0
[tex]u_0=0\in\mathbb{N}[/tex] donc H(0) est vraie.
Hérédité : Soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tel que H(n) soit vraie; montrons H(n+1).
On a : [tex]u_{n+1}=u_n+\frac{n(n+1)}{2}+1}[/tex]
et, par HR, [tex]u_n \in \mathbb{N}[/tex] donc il suffit de montrer [tex]\frac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}[/tex], càd que 2 divise n(n+1), càd que n(n+1) est pair.
Or, parmi n et n+1, l'un est pair (ce sont deux nombres entiers consécutifs). Donc leur produit est pair.
Ainsi, [tex]\frac{n(n+1)}{2} \in \mathbb{N}[/tex], d'où [tex]u_{n+1} \in \mathbb{N}[/tex], d'où H(n+1).
Par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel n, càd : Pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], [tex]u_n \in \mathbb{N}[/tex].
Réponse :
Bjr,
- la propriété à démontrer
- initialisation : avec n = 0, on obtient un entier naturel
- hérédité : on suppose qu'à partir d'un certain rang n, la propriété est vraie.
Un+1 = (n + 1) ((n + 1)² + 5) / 6
Un+1 = (n^3 + 3 n² + 8 n + 6) / 6
Un+1 = ((n^3 + 5 n) + (3 n² + 3 n) + 6) / 6
Un+1 = n (n² + 5) / 6 + (n² + n) / 2 + 1
Un+1 = n (n² + 5) / 6 + 1 + n (n + 1) / 2
A ce stade, n (n² + 5) / 6 est un entier naturel tout comme 1.
La somme n (n² + 5) / 6 + 1 est aussi un entier naturel.
Il reste à vérifier si le dernier terme de la somme est un entier naturel.
Deux cas : n pair ou n impair
Si n pair, n de la forme 2 k avec k entier naturel :
n (n + 1) / 2 = 2 k (2 k + 1) / 2 = k (2 k + 1)
k (2 k + 1) est un entier naturel, alors n (n + 1) / 2 entier naturel.
Si n impair, n de la forme 2 k + 1 avec k entier naturel :
n (n + 1) / 2 = (2 k + 1) (2 k + 2) / 2 = (2 k + 1) (k + 1)
(2 k + 1) (k + 1) est un entier naturel, alors n (n + 1) / 2 entier naturel.
Un+1 se présente alors comme la somme de trois entiers naturels, donc aussi un entier naturel.
- conclusion