Réponse :
a) Montrer que la somme de deux nombres pairs est paire
soit p et q deux nombres pairs ⇔ p = 2 k et q = 2 k' avec k , k' ∈ Z
p + q = 2 k + 2 k' = 2(k + k') or k ∈ Z , k' ∈ Z donc k + k' = k" ∈ Z
donc p + q = 2 k"
b) la somme de deux nombres impairs donne un nombre pair
soient p et q deux nombres impairs ⇔ p = 2 k + 1 et q = 2 k' + 1
avec k et k ∈ Z
p + q = 2 k + 1 + 2 k' + 1 = 2 k + 2 k' + 2 = 2(k+k'+1)
on pose k" = k+k'+1 ∈ Z donc k" ∈ Z
donc p + q = 2 k"
c) la somme de deux nombres consécutif est impaires
soient deux nombres consécutifs n et n + 1
S = n + n + 1 = 2 n + 1 avec n ∈ Z
d) la somme de deux multiples de 5 est un multiple de 5
soient deux nombres p et q multiples de 5 ⇔ p = 5 x k et q= 5 x k'
avec k et k' ∈ Z
p + q = 5 k + 5 k' = 5(k+k') on pose k" = k + k' ∈ Z donc k"∈Z
e) le produit d'un multiple de 3 par un multiple de 4 est un multiple de 12
p = 3 k et q = 4 k' avec k , k' ∈ Z
donc p x q = 3 k x 4 k' = 12 kk' k" = kk' ∈ Z donc k" ∈ z
f) la somme de 3 nombres naturels consécutifs est un multiple de 3
soient n , n+1 et n+2 trois nombres naturels consécutif
S = n + n + 1 + n+2 = 3 n + 3 = 3(n+1) avec n ∈ N
on pose n' = n+1 ∈ N donc n' ∈ N
S = 3 n'
g) la somme de 5 nombres naturels consécutifs est un multiple de 5
soient 5 nombres naturels consécutifs ; n , n+1 , n+2 , n+3 , n+ 4
S = n + n + 1 + n+2 + n+3 + n+4 = 5 n + 10 = 5(n + 2)
n ∈ N ⇒ n+2 ∈ N on pose n' = n+2 donc n' ∈ N
donc S = 5 n' avec n' ∈ N
Explications étape par étape
