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BONSOIR JE SUIS EN TERMINAL SPE MATHS ET J’AI UN PEU DE MAL AVEC CET EXERCICE MERCI DE VOTRE AIDE. On considère la suite (un) définie par U0 =1/2 et telle que pour tout entier naturel n: Un+1 =3Un/1+2Un
1. (a) Calculer u1 et u2.
2. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, un > 0.
3. On admet que pour tout entier naturel n, un <1.
(a) Démontrer que la suite (un) est croissante.
(b) Démontrer que la suite (un) converge.
4. Soit (vn) la suite définie, pour tout entier naturel n. par vn = Un/1-Un
(a) Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 3.
(b) Exprimer pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
(c) En déduire que, pour tout entier naturel n, Un =3^n/3^n+1
(d) Déterminer la limite de la suite (un)

Sagot :

Réponse :

U0 = 1/2  et Un+1 = 3Un/(1+2Un)  pour tout entier naturel n

1) (a) calculer U1 et U2

  U1 = 3U0/(1+2U0) = 3*1/2/(1+2*1/2) = 3/2/2 = 3/4

  U2 = 3U1/(1 + 2U1) = 3*3/4/(1+2*3/4) = 9/4/5/2 = 9/10

2) démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n,  Un > 0

P(n) : Un > 0    

Initialisation : vérifions que P(0) est vraie

                         U0 = 1/2 > 0  donc P(0) est vraie

Hérédité :  soit un entier naturel  n ≥ 0

                  supposons que P(n) est vraie c'est à dire Un > 0 et montrons que P(n+1) est vraie  c'est à dire  Un+1 > 0

          Un > 0  ⇔ 3Un > 0 ⇔ 3Un/(1+2Un) > 0/(1+2Un)  ⇔ 3Un/(1+2Un) > 0

     donc  Un+1 > 0  donc P(n+1) est vraie

Conclusion : P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang 0

                     donc par récurrence  P(n) est vraie  pour tout entier naturel n

3) on admet que pour tout entier naturel n,  Un < 1

     (a) démontrer que la suite (Un) est croissante

             Un+1/Un  = 3Un/(1+2Un)/Un

                              = 3Un/Un(1+2Un)

                              = 3/(1+2Un)     or  Un > 0  donc  2Un > 0 donc 1+ 2Un > 1

     donc  1 + 2Un > 0    et  3 > 0  donc  Un+1/Un > 0  donc la suite (Un) est croissante sur N

      (b) démontrer que la suite (Un) converge

                (Un) est croissante sur N

                 Un < 1   majorée

                 donc la suite (Un) est convergente

4)  Vn = Un/(1 - Un)  pour tout entier naturel n

     (a) montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique  de raison 3

           Vn+1 = Un+1/(1 - Un+1)

                    = 3Un/(1+2Un)/(1 - (3Un/(1+2Un))

                    = 3Un/(1+2Un)/(1 + 2Un - 3Un)/(1+2Un))

                    = 3Un/(1+2Un)/(1 - Un)/(1+2Un))  

                    = 3Un x (1+2Un)/(1+2Un)(1 - Un)

               Vn+1 = 3Un/(1 - Un)

         donc   Vn+1/Vn = 3Un/(1 - Un)/Un/(1 - Un) = 3Un(1-Un)/Un(1-Un) = 3

  donc la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 3

       (b) exprimer pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n

                 Vn = V0 x qⁿ

V0 = U0/(1 - U0) = 1/2/(1 - 1/2) = 1

      Donc   Vn = 3ⁿ

  (c) en déduire que, pour tout entier naturel n, Un = 3ⁿ/(3ⁿ + 1)

            Vn = Un/(1 - Un) ;    Vn(1 - Un) = Un  ;   Vn - VnUn = Un

     d'où  Vn = Un + VnUn   donc   Vn = Un(1+Vn)  donc  Un = Vn/(1+Vn)

  soit  Un = 3ⁿ/(1+3ⁿ)

  (d) déterminer la limite de la suite (Un)

          lim Un  = lim (3ⁿ/(1+3ⁿ)  or lim 3ⁿ/3ⁿ = 1

          n→ + ∞                                n→ + ∞

                                           

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