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Sagot :
Réponse :
U0 = 1/2 et Un+1 = 3Un/(1+2Un) pour tout entier naturel n
1) (a) calculer U1 et U2
U1 = 3U0/(1+2U0) = 3*1/2/(1+2*1/2) = 3/2/2 = 3/4
U2 = 3U1/(1 + 2U1) = 3*3/4/(1+2*3/4) = 9/4/5/2 = 9/10
2) démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, Un > 0
P(n) : Un > 0
Initialisation : vérifions que P(0) est vraie
U0 = 1/2 > 0 donc P(0) est vraie
Hérédité : soit un entier naturel n ≥ 0
supposons que P(n) est vraie c'est à dire Un > 0 et montrons que P(n+1) est vraie c'est à dire Un+1 > 0
Un > 0 ⇔ 3Un > 0 ⇔ 3Un/(1+2Un) > 0/(1+2Un) ⇔ 3Un/(1+2Un) > 0
donc Un+1 > 0 donc P(n+1) est vraie
Conclusion : P(0) est vraie et P(n) est héréditaire au rang 0
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
3) on admet que pour tout entier naturel n, Un < 1
(a) démontrer que la suite (Un) est croissante
Un+1/Un = 3Un/(1+2Un)/Un
= 3Un/Un(1+2Un)
= 3/(1+2Un) or Un > 0 donc 2Un > 0 donc 1+ 2Un > 1
donc 1 + 2Un > 0 et 3 > 0 donc Un+1/Un > 0 donc la suite (Un) est croissante sur N
(b) démontrer que la suite (Un) converge
(Un) est croissante sur N
Un < 1 majorée
donc la suite (Un) est convergente
4) Vn = Un/(1 - Un) pour tout entier naturel n
(a) montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 3
Vn+1 = Un+1/(1 - Un+1)
= 3Un/(1+2Un)/(1 - (3Un/(1+2Un))
= 3Un/(1+2Un)/(1 + 2Un - 3Un)/(1+2Un))
= 3Un/(1+2Un)/(1 - Un)/(1+2Un))
= 3Un x (1+2Un)/(1+2Un)(1 - Un)
Vn+1 = 3Un/(1 - Un)
donc Vn+1/Vn = 3Un/(1 - Un)/Un/(1 - Un) = 3Un(1-Un)/Un(1-Un) = 3
donc la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 3
(b) exprimer pour tout entier naturel n, Vn en fonction de n
Vn = V0 x qⁿ
V0 = U0/(1 - U0) = 1/2/(1 - 1/2) = 1
Donc Vn = 3ⁿ
(c) en déduire que, pour tout entier naturel n, Un = 3ⁿ/(3ⁿ + 1)
Vn = Un/(1 - Un) ; Vn(1 - Un) = Un ; Vn - VnUn = Un
d'où Vn = Un + VnUn donc Vn = Un(1+Vn) donc Un = Vn/(1+Vn)
soit Un = 3ⁿ/(1+3ⁿ)
(d) déterminer la limite de la suite (Un)
lim Un = lim (3ⁿ/(1+3ⁿ) or lim 3ⁿ/3ⁿ = 1
n→ + ∞ n→ + ∞
Explications étape par étape
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