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Bonjour est-ce que vous pouvez m'aider svp c'est vraiment important. Merci d'avance (quand il y a écrit x4 par exemple, c'est la puissance de x.)


On considère l'équation bicarrée x4 – 6x2 + 8 = 0 (E1).
1. En posant t = x2 écrire une équation (E2) équivalente à (E1) et résoudre cette équation.
2. Déduire alors de la question précédente la résolution de (E1).
3. Montrer que x4 – 6x2 + 8 = (x2 – 4)(x2 – 2) et expliquer en quoi cette factorisation
permet de vérifier la résolution de l'équation bicarrée.
4. On considère la fonction polynôme définie sur R par g(x) = x4 – 6x2 + 8.
Résoudre l'inéquation g(x) < 0.
5. À l'aide de la calculatrice graphique, expliquer comment vérifier la résolution de l'inéquation.​

Sagot :

Réponse :

1) en posant t = x²  écrire une équation (E2) équivalente à (E1) et résoudre cette équation

 (E2) : t² - 6 t + 8 = 0  

   ⇔ t² - 6 t + 8 + 9 - 9 = 0  ⇔ t² - 6 t + 9 - 1 = 0

⇔ (t - 3)² - 1  = (t - 3 +1)(t - 3 - 1) = 0   ⇔ (t - 2)(t - 4) = 0   produit de facteurs nul   ⇔ t - 2 = 0 ⇔ t = 2  ou t - 4 = 0 ⇔ t = 4   ⇔ S = {2 ; 4}

2) déduire alors de la question précédente la résolution de (E1)

     x² = 2  ⇔ x = √2  ou x = - √2

     x² = 4  ⇔ x = 2  ou x = - 2

les solutions de (E1) sont :  S = {- 2 ; - √2 ; √2 ; 2}

3) Montrer que  x⁴ - 6 x² + 8 = (x² - 4)(x² - 2)  et expliquer en quoi cette factorisation permet de vérifier la résolution de l'équation bicarrée

x⁴ - 6 x² + 8 = (x²)² - 6 x² + 8 +9 - 9 = (x²)² - 6 x² + 9 - 1 = (x² - 3)² - 1

= (x² - 3 + 1)(x² - 3 - 1) = (x² - 2)(x² - 4)

cette factorisation nous permet de résoudre (E1)  car le produit de facteurs nul  donne  x² - 2 = 0  ou x² - 4 = 0  on a donc  4 solutions

4) résoudre l'inéquation g(x) < 0  

   g(x) < 0  ⇔ x⁴ - 6 x² + 8 < 0  ⇔ (x² - 4)(x² - 2) < 0

   x       - ∞                - 2               - √2                √2              2               + ∞            

x² - 4                 +        0         -                   -                  -        0         +

x² - 2                 +                   +         0        -          0     +                   +

  P                     +       0          -         0        +          0     -         0        +  

l'ensemble des solutions de l'inéquation g(x) < 0  est :

                 S = ]- 2 ; - √2[U]√2 ; 2[

     

Explications étape par étape