Bonjour,
Exo 1
[tex]a>0, \ b>0 \\ \\0\leq (a-b)^2=a^2+b^2-2ab=(a+b)^2-2ab-2ab=(a+b)^2-4ab\\ \\<=> (a+b)^2\geq 4ab\\ \\<=> \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}[/tex]
On remplace a par 1/a et b par 1/b
[tex]\dfrac{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}{2}\geq \sqrt{\dfrac{1}{ab}} \\ \\<=>\dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}[/tex]
Donc
[tex]\large \boxed{\sf \bf \dfrac{2}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}\leq \dfrac{a+b}{2}}[/tex]
Exo 2
Comme un carré est toujours positif
[tex](x^2+y^2)(a^2+b^2)=(xa)^2+(xb)^2+(ya)^2+(yb)^2=(ax+by)^2-2axby+(xb-ya)^2+2xbya\\\\=1+(xb-ya)^2\geq 1[/tex]
et donc
[tex]\large \boxed{\sf \bf x^2+y^2\geq \dfrac{1}{a^2+b^2}}[/tex]
Exo 3
1) pour tout x réel f(x)=f(0)f(x)
Soit f est la fonction constante nulle et alors f(0)=0
Soit il existe au moins une valeur de x tel que f(x) soit non nul et f(x)=f(0)f(x) implique f(0)=1
2)
si f(0)=0 alors f(x)=f(0)f(x)=0 pour tout x réel
3)
a. si jamais il existe x tel que f(x)=0 alors prenons ce x et pour tout y réel f(x+y)=f(x)f(y)=0
du coup f est la fonction constante nulle et alors f(0)=0, ce qui est exclut
donc il n existe pas de x tel que f(x)=0 et donc f(x) est toujours différent de 0 et comme
[tex]\forall x \in \mathbb{R}\\ \\f(x/2+x/2)=f(x)=(f(x/2))^2 \geq 0[/tex]
f(x)>0 pour tout réel x
b. on peut donc diviser par f(x) et
[tex]f(0)=1=f(x)f(-x)<=>f(-x)=\dfrac{1}{f(x)}[/tex]
c.
[tex]\forall x \in \mathbb{R} \\ \\f(x)=f(x-y+y)=f(x-y)f(y)<=>f(x-y)=\dfrac{f(x)}{f(y)}[/tex]
Merci
