Bonjour,
1. La fonction est définie pour tout x réel
[tex]g(x)=3e^{2x}-5e^x-x+2[/tex]
Et elle est dérivable car composée/somme de fonctions qui le sont.
a. prenons x réel quelconque
[tex]g'(x)=6e^{2x}-5e^x-1=6\left( e^x \right)^2-5e^x-1[/tex]
Cela nous ramène à factoriser un polynôme de degré deux, dont on peut vérifier que 1 est une racine évidente donc,
[tex]6x^2-5x-1=(x-1)(6x+1)[/tex]
Ce qui revient à dire que
[tex]g'(x)=(e^x-1)(6e^x+1)[/tex]
Remarque: Sinon, on aurait pu aussi développer l'expression de droite et vérifier qu'elle est bien égale à g'(x).
b.
[tex]6e^x+1[/tex] est toujours positif pour x réel
et comme la fonction exponentielle est strictement croissante
[tex]e^x-1>0 <=> e^x>1<=>x>0[/tex]
[tex]\left|\begin{array}{c|ccc}x&&0&&\\---&---&---&---\\g'(x)&-&0&+\\---&---&---&---\\g(x)&\searrow&g(0)&\nearrow\end{array}\right|[/tex]
Donc g admet un minimum en 0 et sa valeur est g(0)=3-5+2=0
Ce qui veut dire que pour tout x réel g(x) est positif.
c. Prenons n un entier quelconque
[tex]u_{n+1}-u_{n}=3e^{2u_n}-5e^{u_n}+2-u_n=g(u_n)\geq 0[/tex]
Donc la suite est croissante.
Merci
