Réponse :
U0 = 1
Un+1 = 2Un - n + 3 pour tout entier naturel n
1) démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a
Un = 3 x 2ⁿ + n - 2
Initialisation : vérifions que pour n = 0 P(0) est vraie
U0 = 3 x 2⁰ + 0 - 2 = 3 - 2 = 1 donc P(0) est vraie
hérédité : supposons que pour tout n ∈ N , P(n) est vraie par hypothèse
c'est à dire on pose par hypothèse Un = 3 x 2ⁿ + n - 2 et montrons que P(n+1) est vraie c'est à dire il faut montrer que
Un+1 = 3 x 2ⁿ⁺¹ + (n+1) - 2
en partant de l'expression :
Un+1 = 2Un - n + 3
= 2(3 x 2ⁿ + n - 2) - n + 3
= 2 x 3 x 2ⁿ + 2 n - 4 - n + 3
= 3 x 2ⁿ⁺¹ + n - 1
= 3 x 2ⁿ⁺¹ + n - 2 + 1
= 3 x 2ⁿ⁺¹ + (n + 1) - 2
Donc on a démontré que P(n+1) est vraie pour tout entier naturel n
Conclusion : pour n = 0 ; P(0) est vraie et P(n) est héréditaire
par récurrence et pour tout entier naturel n P(n) est vraie
2) déterminer la limite de la suite (Un) justifiez la réponse
lim Un = lim 3 x 2ⁿ + n - 2 or lim 3 x 2ⁿ = + ∞ et lim (n - 2) = + ∞
n→ + ∞ n→ + ∞ n→+∞ n→+∞
donc la lim Un = ∞ + ∞ = + ∞
n→ + ∞
Explications étape par étape
