Réponse :
Bonjour
a) f(x) - f(α) = ax³ + bx² + cx + d - aα³ - bα² - cα - d
= a(x³ - α³) + b(x² - α²) + c(x - α)
b) (x - α)(x² + αx + α²) = x³ + αx² + α²x - αx² - α²x - α³ = x³ - α³
c) Si α est racine de f, f(α) = 0
donc f(x) - f(α) = f(x)
donc f(x) = a(x³ - α³) + b(x² - α²) + c(x - α) (montré dans le a))
⇔ f(x) = a(x -α)(x² + αx + α²) + b(x² - α²) + c(x - α) (montré dans le b))
⇔ f(x) = a(x - α)(x² + αx + α²) + b(x - α)(x + α) + c(x - α) (identité remarquable pour factoriser (x² - α²))
⇔ f(x) = (x - α)[a(x² + αx + α²) + b(x + α) + c]
