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TSTMG - Devoir maison n°1 - Fonction inverse
Exercice :
Une entreprise fabrique chaque semaine une quantité q en tonnes de produit chimique. Elle produit entre 10
et 100 tonnes par semaines. Le coût total de q tonnes est donné par la fonction définie sur [10; 100) par :
C(q) = 3q2 + 40q + 2700
Partie A : Coût moyen unitaire.
Le coût moyen unitaire est le coût moyen d'une tonne de produit lorsque q tonnes sont produites. On appelle
Cm la fonction représentant le coût moyen unitaire :
C(q)
Cm(q) =
9
1) Démontrer que pour tout réel q de [10; 100) :
2700
Cm(q) = 39 + 40+
9
2) a) Calculer C(q).
b) Démontrer que pour tout réel q de [10; 100) :
3(9-30) (q + 30)
CM(q) =
q?
3) Dresser le tableau de variations de CM.
4) Quel est le coût moyen unitaire minimal ? Pour quelle quantité de produit chimique est-il atteint ?
Partie B : Coût marginal
Le coût marginal est le supplément de coût engendré par la production d'une tonne de produit
supplémentaire, c'est-à-dire :
Cm(q) = C(q + 1) - C(q)
1) Calculer Cm(20). Interpréter ce résultat avec les données de l'énoncé.
2) Démontrer que pour tout réel q de (10; 100) : Cm(q) = 6 + 43.
3) Déterminer C'9). Quelle est la différence entre Cm (9) et C'(9)?
Remarque : En pratique, on assimile le coût marginal de production à la dérivée du coût total.

TSTMG Devoir Maison N1 Fonction Inverse Exercice Une Entreprise Fabrique Chaque Semaine Une Quantité Q En Tonnes De Produit Chimique Elle Produit Entre 10 Et 10 class=

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

■ C(q) = 3q² + 40q + 2700 avec 10 < q < 100 tonnes

■ Cm(q) = 3q + 40 + (2700/q)

■ 2a) dérivée Cm ' (q) = 3 - (2700/q²)

cette dérivée est positive pour 3 > 2700/q²

q² > 900

q > 30 tonnes

■ 2b) Cm ' (q) = (3q² - 2700) / q²

= 3(q² - 900) / q²

= 3(q-30)(q+30) / q²

■ 3°) tableau de variation et de valeurs :

q --> 10 20 30 50 70 100 tonnes

variation -> - | +

Cm(q) --> 340 235 220 244 288,6 367 €uros

■ 4°) Coût moyen unitaire mini ( = 220 €/tonne )

obtenu pour q = 30 tonnes !

■ B1°) Cmarg(20) = C(21) - C(20) = 4863 - 4700 = 163 €uros

cela signifie que la 21ème tonne produite coûtera seulement 163 € !

■ B2°) Cmarg(q) = C(q+1) - C(q)

= 3(q+1)² + 40(q+1) + 2700 - 3q² - 40 q - 2700

= 6q + 3 + 40

= 6q + 43

■ B3°) C ' (q) = 6q + 40

il y a une légère différence ( de 3 €uros seulement )

entre le Coût marginal et la dérivée du Coût total .

■ C) comparaison Coût marginal et Coût moyen :

q --> 10 20 30 50 70 100 tonnes

Cmarg(q) -> 103 163 223 343 463 643 €/tonne

Cm(q) --> 340 235 220 244 289 367 €/tonne

♥ c' est bien pour 30 tonnes produites

qu' on obtiendra le Coût moyen le plus faible !

♥ remarque sur l' intersection :

3q + 40 + (2700/q) = 6q + 43

2700/q = 3q + 3

900 = q² + q

q² + q - 900 = 0

q ≈ 29,5 tonnes !

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