Bonsoir,
Montrons par récurrence sur [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex] la propriété suivante :
H(n):"[tex]\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}=2+\frac{-n-2}{2^n}[/tex]."
Initialisation : n=1
H(1) est vraie car [tex]\sum_{k=1}^1 \frac{k}{2^k}=\frac{1}{2}=2+\frac{-3}{2}[/tex].
Hérédité : Soit [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex] tel que H(n) soit vraie, et montrons H(n+1).
On a, par HR :
[tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^k}=\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=2+\frac{-n-2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}[/tex].
Or : [tex]\frac{-n-2}{2^n}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{-2n-4}{2^{n+1}}+\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{-n-3}{2^{n+1}}=\frac{-(n+1)-2}{2^{n+1}}[/tex]
donc : [tex]\sum_{k=1}^{n+1} \frac{k}{2^k}=\frac{-(n+1)-2}{2^{n+1}}[/tex], d'où H(n+1).
Par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex], soit :
Pour tout [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex], [tex]\boxed{\sum_{k=1}^n \frac{k}{2^k}=2+\frac{-n-2}{2^n}}[/tex].
