leana5959
Answered

Laurentvidal.fr vous aide à trouver des réponses à toutes vos questions grâce à une communauté d'experts passionnés. Trouvez des réponses rapides et fiables à vos questions grâce à l'aide d'experts expérimentés sur notre plateforme conviviale. Explorez des milliers de questions et réponses fournies par une large gamme d'experts dans divers domaines sur notre plateforme de questions-réponses.

Bonsoir tout le monde, ayant des problemes de comprehension en mathématiques je me permet de poster mon DM afin de recevoir de l'aide, un grand merci d avance, bonne soirée.



Marin Mersenne (1588-1648) était un religieux
français érudit, philosophe, mathématicien et
physicien. Il s'est intéressé à de nombreux domaines
(acoustique, chute des corps, arithmétique, ...).

Il a fourni une liste de nombres de la forme 2² - 1, 2³ - 1, 2⁵ - 1,
jusqu'à
2²⁵⁷ - 1, où chacun des exposants (2, 3, 5, ..., 257) est un nombre premier.

Les mathématiciens et les informaticiens recherchent aujourd'hui de très
grands nombres premiers parmi les nombres de Mersenne, dans le but de
tester la puissance des nouveaux processeurs informatiques.

Le plus grand nombre premier connu a été découvert en 2018 : le nombre M⁸²⁵⁸⁹⁹³³ qui s'écrit avec près de 25 millions de chiffres.

1) Pour chacun des nombres premiers 2, 3, 5, 7, calculer les nombres de Mersenne M², M³, M⁵, M⁷ et vérifier si ce sont des nombres premiers.

2) Conjecture : on peut alors penser que << Les nombres de Mersenne Mn = 2n-1 où n est un nombre premier sont tous des nombres premiers >>
Écrire la décomposition en produit de facteur premiers de M¹¹.
La conjecture précédente est-elle confirmée ?

3) Le nombre M¹³ est-il premier ?

Merci de votre aide et bonne soirée !​

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ 2² - 1 = 4 - 1 = 3

■ 2³ - 1 = 8 - 1 = 7

■ 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31

■ 2^7 - 1 = 128 - 1 = 127

■ ces 4 nombres étant premiers

   --> la conjecture est donc justifiée !

■ 2^11 - 1 = 2048 - 1 = 2047

   mais 2047 = 23 x 89

   donc 2047 n' est pas premier !

   d' où conjecture INFIRMéE !!

   (2^23 - 1 = 8 388 607 pas premier non plus ! )

■ 2^13 - 1 = 8192 - 1 = 8191 qui est bien premier !

Merci d'utiliser notre plateforme. Nous nous efforçons de fournir des réponses précises et à jour à toutes vos questions. Revenez bientôt. Nous apprécions votre temps. Revenez nous voir pour des réponses fiables à toutes vos questions. Revenez sur Laurentvidal.fr pour obtenir les réponses les plus récentes et des informations de nos experts.