leana5959
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Bonsoir tout le monde, ayant des problemes de comprehension en mathématiques je me permet de poster mon DM afin de recevoir de l'aide, un grand merci d avance, bonne soirée.



Marin Mersenne (1588-1648) était un religieux
français érudit, philosophe, mathématicien et
physicien. Il s'est intéressé à de nombreux domaines
(acoustique, chute des corps, arithmétique, ...).

Il a fourni une liste de nombres de la forme 2² - 1, 2³ - 1, 2⁵ - 1,
jusqu'à
2²⁵⁷ - 1, où chacun des exposants (2, 3, 5, ..., 257) est un nombre premier.

Les mathématiciens et les informaticiens recherchent aujourd'hui de très
grands nombres premiers parmi les nombres de Mersenne, dans le but de
tester la puissance des nouveaux processeurs informatiques.

Le plus grand nombre premier connu a été découvert en 2018 : le nombre M⁸²⁵⁸⁹⁹³³ qui s'écrit avec près de 25 millions de chiffres.

1) Pour chacun des nombres premiers 2, 3, 5, 7, calculer les nombres de Mersenne M², M³, M⁵, M⁷ et vérifier si ce sont des nombres premiers.

2) Conjecture : on peut alors penser que << Les nombres de Mersenne Mn = 2n-1 où n est un nombre premier sont tous des nombres premiers >>
Écrire la décomposition en produit de facteur premiers de M¹¹.
La conjecture précédente est-elle confirmée ?

3) Le nombre M¹³ est-il premier ?

Merci de votre aide et bonne soirée !​

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ 2² - 1 = 4 - 1 = 3

■ 2³ - 1 = 8 - 1 = 7

■ 2^5 - 1 = 32 - 1 = 31

■ 2^7 - 1 = 128 - 1 = 127

■ ces 4 nombres étant premiers

   --> la conjecture est donc justifiée !

■ 2^11 - 1 = 2048 - 1 = 2047

   mais 2047 = 23 x 89

   donc 2047 n' est pas premier !

   d' où conjecture INFIRMéE !!

   (2^23 - 1 = 8 388 607 pas premier non plus ! )

■ 2^13 - 1 = 8192 - 1 = 8191 qui est bien premier !

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