Bonjour,
1) Par définition, un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme [tex]\frac{a}{b}[/tex] avec a et b entiers (b non nul). On peut de plus supposer que a et b n'ont aucun diviseur en commun autre que 1 (on dit qu'ils sont premiers entre eux), ce qui revient à choisir a et b de manière à ce que la fraction soit irréductible.
Ici, on suppose par l'absurde que [tex]\sqrt2[/tex] est rationnel. Il existe donc deux entiers a et b (b non nul) n'ayant pas de diviseur en commun autre que 1 tels que :
[tex]\sqrt 2=\frac{a}{b}[/tex].
2) On élève au carré l'égalité précédente :
[tex]\sqrt 2=\frac{a}{b} \iff \sqrt 2^2=\left(\frac{a}{b}\right)^2 \iff 2=\frac{a^2}{b^2} \iff \boxed{a^2=2b^2}[/tex].
3) Le terme en [tex]2b^2[/tex] est pair, puisque c'est un multiple de 2 (il s'écrit 2 fois un entier).
Comme ce terme vaut [tex]a^2[/tex] par la question précédente, [tex]a^2[/tex] est pair, ce qui implique a est pair.
(L'implication [tex]\text{$a^2$ pair $\Rightarrow$ $a$ pair}[/tex] est immédiate avec un tableau de congruences; si tu ne les as pas vu, on peut raisonner par contraposition, en montrant que, si un entier est impair, son carré l'est également.
Soit donc un entier c impair. Il s'écrit [tex]c=2k+1[/tex] avec k entier.
Alors : [tex]c^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1[/tex] qui est bien impair car [tex]2(2k^2+2k)[/tex] est pair (c'est un multiple de 2).)
4) Puisque a est pair, il peut s'écrire [tex]a=2k[/tex] avec k entier.
En remplaçant dans l'égalité, il vient :
[tex]a^2=2b^2 \iff (2k)^2=2b^2 \iff 4k^2=2b^2 \iff b^2=2k^2[/tex]
Comme précédemment, [tex]2k^2[/tex] est pair, donc [tex]b^2[/tex] est pair, donc b est pair.
5) Ainsi, a et b sont tous deux pairs, donc sont tous deux divisibles par 2.
Or, par 1), leur seul diviseur commun est 1. C'est absurde.
Ainsi, [tex]\sqrt2[/tex] n'est pas rationnel, càd [tex]\boxed{\text{$\sqrt 2$ est irrationnel.}}[/tex]
