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BONJOUR,
pourriez-vous m'aidez à résoudre cet exercice car je n'y arrive pas merci !

Laurent est souvent de bonne humeur, mais pas tous les jours.
On sait que :
• si Laurent est de bonne humeur un jour donné, la probabilité qu’il soit à nouveau de bonne humeur le
lendemain est égale à 0,7.
• si Laurent n’est pas de bonne humeur un jour donné, la probabilité qu’il soit de bonne humeur le
lendemain est égale à 0,9.
• Laurent était de bonne humeur le 1er janvier.
On note alors l’événement : « Laurent est de bonne humeur le -ième jour de l’année » et on note la
probabilité de l’événement . On a donc .
1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a la relation .
(on pourra s’aider d’un arbre pondéré)
2. On pose, pour tout entier naturel non nul, .
a. Montrer que la suite est géométrique. On précisera son premier terme et sa raison.
b. En déduire que, pour tout entier naturel non nul, on a .
c. Déterminer la probabilité que Laurent soit de bonne humeur le 12 janvier.

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

proba(bonne humeur le 12 janvier) = 0,7499999949

Explications étape par étape :

■ Laurent est de bonne humeur le 1er janvier

■ le 2 janvier :

   proba(L de bonne humeur) = 0,7

   p(L de mauvaise humeur) = 0,3

■ le 3 janvier :

   p(bonne humeur) = 0,7² + 0,3x0,9 = 0,49 + 0,27 = 0,76

   p(mauvaise humeur) = 0,7x0,3 + 0,3x0,1 = 0,21 + 0,03 = 0,24

■ le 4 janvier :

   p(bon hum) = 0,76x0,7 + 0,24x0,9 = 0,748

   p(mauv hum) = 0,76x0,3 + 0,24x0,1 = 0,252

■ le 5 janvier :

   p(bon hum) = 0,748x0,7 + 0,252x0,9 = 0,7504

   p(mauv hum) = 0,748x0,3 + 0,252x0,1 = 0,2496

■ le 6 janvier :

   p(bon hum) = 0,7504x0,7 + 0,2496x0,9 = 0,74992

■ le 7 janvier :

   p(bon hum) = 0,74992x0,7 + (1-0,74992)x0,9

                       = 0,750016

■ le 8 janvier :

  p(bon hum) = 0,750016x0,7 + (1-0,750016)x0,9

                       = 0,7499968

■ le 9 janvier :

   p(bon hum) = 0,7499968x0,7 + (1-0,7499968)x0,9

                       = 0,75000064

■ le 10 janvier :

   p(bon hum) = 0,749999872

■ le 11 janvier :

   p(bon hum) = 0,7500000256

■ le 12 janvier :

   p(bon hum) = 0,7499999949

■ on constate qu' il y a rapidement 75 % de chances

             pour que Laurent soit de bonne humeur ! ☺

■ recherche de la limite :

   Lim = Limx0,7 +(1-Lim)x0,9

   Lim = 0,7 Lim - 0,9 Lim + 0,9

   Lim = 0,9 - 0,2 Lim

   1,2 Lim = 0,9

        Lim = 0,9/1,2

        Lim = 0,75 .  

■ suite géométrique ?

  la suite des probabilités de bonne humeur

semble être une suite qui oscille

autour de sa valeur limite 0,75 ,

valeur obtenue une fois amortie !

   Pn = Pn-1 x 0,7 + (1 - Pn-1) x 0,9

        = 0,9 - (0,2 Pn-1)

   Pn+1 = 0,9 - 0,2 Pn

            = 0,9 - 0,2(0,9 - (0,2 Pn-1))

            = 0,9 - 0,18 + 0,2² Pn-1        

            = 0,72 + 0,2² Pn-1

   Pn+2 = 0,9 - 0,2 Pn+1

             = 0,9 - 0,2(0,72 + 0,2² Pn-1)        

             = 0,756 - 0,2³ Pn-1

tableau :

jour de janvier ->   2     3        4        5    

                  Pn --> 0,7 0,76 0,748 ≈0,75

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