Bonjour,
a) On sait que [tex]\lim_{n \to \infty} \mathrm{e}^n=+\infty[/tex] car [tex]\mathrm{e}>1[/tex].
Ainsi, [tex]\lim_{n \to \infty} \mathrm{e}^n+2=+\infty[/tex] et [tex]\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\mathrm{e}^n+2}=0[/tex] soit [tex]\boxed{ \lim_{n \to \infty} u_n=0}[/tex].
b) Soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
Une fraction est nulle ssi son numérateur est nul. Or, le numérateur de [tex]u_n[/tex] vaut [tex]1 \not =0[/tex], donc [tex]\boxed{\text{$u_n$ est non nul}}[/tex].
De plus : [tex]\frac{\mathrm{e}^{-n}}{u_n}=\mathrm{e}^{-n} \times (\mathrm{e}^n+2)=\mathrm{e}^{-n}\times \mathrm{e}^n+2\mathrm{e}^{-n}[/tex]
d'où : [tex]\boxed{\frac{\mathrm{e}^{-n}}{u_n}=1+2\mathrm{e}^{-n}.}[/tex]
c) On sait que : [tex]\lim_{n \to \infty} \mathrm{e}^{-n}= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\mathrm{e}^n}=0[/tex] car [tex]\lim_{n \to \infty} \mathrm{e}^n=+\infty[/tex] (voir question a) ).
Ainsi : [tex]\lim_{n \to \infty} 1+2\mathrm{e}^{-n}=1 \iff \boxed{ \lim_{n \to \infty} \frac{\mathrm{e}^{-n}}{u_n}=1}[/tex].
Voilà ! N'hésite pas à demander des précisions.
