Bonsoir,
1)a) D'après les figures, un segment est divisé en 4 segments égaux après chaque étape (2 sur les côtés et 2 pour former le triangle équilatéral sans base).
b) Chaque segment donne 4 nouveaux segments quand on passe à l'étape suivante.
Au départ : [tex]c_1=3[/tex] (lors de l'étape 1, il n'y a que le triangle équilatéral, qui a 3 côtés).
Puis [tex]c_2=4 \times c_1=12[/tex]
et ainsi de suite : [tex]c_3=4\times c_2=48[/tex]...
On en déduit bien que [tex](c_n)[/tex] est géométrique de raison 4 :
Pour tout entier n : [tex]c_{n+1}=4c_n[/tex].
c) On obtient alors facilement l'expression de [tex]c_n[/tex] en fonction de n :
[tex]c_1=c_1\\c_2=4c_1\\c_3=4^2c_1\\\cdots\\c_n=4^{n-1}c_1=\boxed{3\times 4^{n-1}=c_n}[/tex].
2)a) On procède de même.
Après chaque étape, la longueur d'un segment est divisée par 3 : [tex]l_{n+1}=\frac{1}{3}l_n[/tex].
La suite [tex](l_n)[/tex] est donc géométrique de raison 1/3.
b) On a donc :
[tex]l_1=l_1\\l_2=\frac{1}{3} l_1\\l_3=\frac{1}{3^2}l_1\\\cdots\\\boxed{l_n=\frac{1}{3^{n-1}}\times l_1}[/tex]
c) Soit [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex].
A l'étape n, le périmètre du flocon est égal au nombre de segments qui le composent (càd [tex]c_n[/tex]) multiplié par leur longueur (càd [tex]l_n[/tex]).
Ainsi :
[tex]p_n=c_n \times l_n=3\times 4^{n-1} \times \frac{1}{3^{n-1}} l_1 \iff \boxed{p_n=3l_1\times \left(\frac{4}{3} \right)^{n-1}}[/tex].
d) On a : [tex]\lim_{n \to \infty} \left(\frac{4}{3}\right)^{n-1}=+\infty[/tex] car [tex]\frac{4}{3}>1[/tex].
Ainsi (sauf si [tex]l_1=0[/tex] mais on peut supposer qu'on ne part pas d'un segment de longueur nulle ;) ):
[tex]\boxed{ \lim_{n \to \infty} p_n =+\infty}[/tex]
