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Bonjour pouvez vous m'aidez svpp sur l'exercice ci dessous
merci bien


Bonjour Pouvez Vous Maidez Svpp Sur Lexercice Ci Dessous Merci Bien class=

Sagot :

Bonjour,

Montrons par récurrence sur [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la propriété H(n):"[tex]w_n=3(1-2^n)[/tex]."

Initialisation : n=0

H(0) est vraie car [tex]w_0=0=3(1-2^0)[/tex].

Hérédité : Soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] tel que H(n) soit vraie. Montrons H(n+1).

On a : [tex]w_{n+1}=2w_n-3[/tex]

et, par hypothèse de récurrence, [tex]w_n=3(1-2^n)[/tex].

En remplaçant, on obtient :

[tex]w_{n+1}=2\times 3(1-2^n)-3=6-2\times3\times2^n-3=3-3\times2^{n+1}=3(1-2^{n+1})[/tex]

donc H(n+1) est vraie.

Par principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier n, c'est-à-dire, pour tout [tex]n \in \mathbb{N} : w_n=3(1-2^n)[/tex].