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Bonjours pouvez vous m'aidez je suis vraiment bloquer
calculer la somme S=1+1/2-2+1/4+4+1/8-8...+1/512-512+1/1024+1024

Sagot :

francoismareau

Bonjour,

Il faut séparer la somme en deux pour faire apparaître des sommes géométriques :

[tex]S=(1-2+4-8+\cdots-512+1024)+(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{512}+\frac{1}{1024})[/tex]

puis : [tex]S=(2^0-2^1+2^2-2^3+\cdots-2^9+2^{10})+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{2^9}+\frac{1}{2^{10}})[/tex]

soit, avec des sigmas :

[tex]S=\left(\sum_{k=0}^{10} (-2)^k\right)+\left(\sum_{k=1}^{10} 2^{-k}\right)[/tex].

On calcule ensuite chacune des sommes :

[tex]\sum_{k=0}^{10} (-2)^k=\frac{1-(-2)^{11}}{1-(-2)}=\frac{2049}{3}=683[/tex]

[tex]\sum_{k=1}^{10} 2^{-k}=\frac{1}{2}\times \frac{1-\frac{1}{2^{10}^}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{1024}=\frac{1023}{1024}[/tex].

Ainsi : [tex]\boxed{S=684-\frac{1}{1024}}[/tex].

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