Bonjour,
[tex]f(x)=\sqrt{(x-4)^2}[/tex]
1) Une racine est définie si son radicande est positif ou nul.
Ici, le radicande est [tex](x-4)^2[/tex] qui est toujours positif ou nul, puisque c'est un carré.
Ainsi, f est définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
2)a) On utilise la propriété suivante :
Soit a un réel : [tex]\sqrt{a^2}=|a|[/tex] (ne pas oublier la valeur absolue !).
Ainsi, pour tout réel x : [tex]\boxed{f(x)=|x-4|=\left \{ {{x-4 \text{ si $x\ge 4$}} \atop {4-x \text{ si $x \le 4$}}} \right.. }[/tex]
b) Par l'expression précénte, f est décroissante pour [tex]x \le 4[/tex] et croissante pour [tex]x \ge 4[/tex].
3) Soit [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
[tex]f(x)=3 \iff |x-4|=3 \iff (x-4=3 \text{ et $x \ge 4$) ou ($4-x=3$ et $x\le 4$)}[/tex]
Dans le premier cas, on trouve [tex]x=7[/tex], qui est bien [tex]\ge 4[/tex].
Et dans le deuxième, on trouve [tex]x=1[/tex], qui est bien [tex]\le 4[/tex].
Ainsi, l'équation admet deux solutions : 1 et 7.
