Bonjour,
■ On a d'après l'énoncé : Vn = 16 - Un
[tex]V_{n+1} = 16 - U_{n+1}[/tex]
[tex]V_{n+1} = 16 - ( \frac{1}{2} U_{n}+8)[/tex]
[tex]V_{n+1} = 16 - \frac{1}{2} U_{n} - 8[/tex]
[tex]V_{n+1} = - \frac{1}{2} U_{n}+8[/tex]
[tex]V_{n+1}= \frac{1}{2} V_{n}[/tex]
■ La suite (Vn) est donc une suite géométrique de raison 1/2
■ Exprimer (Vn) en fonction de n :
[tex]V_{0} = 16 - U_{0} = 16 - 0 = 16 [/tex]
[tex]V_{n} = V_{0} \times {q}^{n} = 16 \times ( \frac{1}{2}) {}^{n} [/tex]
■ Exprimer (Un) en fonction de n :
[tex]V_{n}=16-U_{n}[/tex]
[tex]U_{n}=16-V_{n}=16-16 \times ( \frac{1}{2} ) {}^{n} [/tex]
■ On remplace n par 4, on obtient ainsi (vérifie avec ton résultat trouvé à la première question)
[tex]U_{4}=16 - 16 \times ( \frac{1}{2}) {}^{4} = 15[/tex]
■ Calculons maintenant la limite de (Un)
[tex]$\lim_{x \to +\infty} ( \frac{1}{2} ) {}^{n} = 0$[/tex]
puisque 0 <1/2< 1 ainsi on a :
[tex]$\lim_{x \to +\infty} 16 \times ( \frac{1}{2}) {}^{n}=0 $[/tex]
On sait également que :
[tex]$\lim_{x \to +\infty} 16 = 16$[/tex]
On en déduit ainsi que :
[tex]$\lim_{x \to +\infty} 16 - 16 \times ( \frac{1}{2}) {}^{n} = 16 - 0 = 16$[/tex]
