Bonjour,
Je ne vois pas de solution miracle ce coup-ci...
Une idée logique est de chercher une solution imaginaire pure, sous la forme [tex]\mathrm{i} x_0[/tex] avec [tex]x_0 \in \mathbb{R}[/tex].
En injectant dans l'équation, il vient, en identifiant parties réelles et imaginaires :
[tex]\left(x_0^4-38x_0^2+261 \right)+\left(10x_0^3-90x_0\right) \mathrm{i}=0 \iff \left \{ {{x_0^4-38x_0^2+261=0} \atop {10x_0^3-90x_0=0}} \right.[/tex].
On peut éliminer la solution nulle (0 ne convient pas) et on obtient alors :
[tex]\left \{ {{x_0^4-38x_0^2+261=0} \atop {x_0^2=9}} \right. \iff \left \{ {{x_0^4-38x_0^2+261=0} \atop {x_0=-3}} \right. \text{ ou } \left \{ {{x_0^4-38x_0^2+261=0} \atop {x_0=3}} \right.[/tex] et ces deux solutions conviennent bien.
Ainsi, [tex]-3\mathrm{i}[/tex] et [tex]3\mathrm{i}[/tex] sont deux racines du polynôme.
Il reste à trouver les deux dernières. C'est facile en factorisant. On écrit :
[tex]z^4-10z^3+38z^2-90z+261=(z-3\mathrm{i})(z+3\mathrm{i})(z^2+az+b)[/tex]
avec a et b deux réels à déterminer.
En développant, on obtient :
[tex]z^4-10z^3+38z^2-90z+261=(z^2+9)(z^2+az+b)=z^4+az^3+(b+9)z^2+9az+9b[/tex]
donc : [tex]a=-10 \text{ et } b=29[/tex]; soit [tex]z^4-10z^3+38z^2-90z+261=(z^2+9)(z^2-10z+29)[/tex].
Il ne reste plus qu'à trouver les racines du polynôme [tex]z^2-10z+29[/tex], ce qui se fait facilement avec le discriminant. On trouve [tex]5+2\mathrm{i}[/tex] et [tex]5-2\mathrm{i}[/tex].
Finalement, les quatre racines du polynôme précédent sont [tex]\boxed{5+2\mathrm{i}, \, 5-2\mathrm{i},\, 3\mathrm{i}, \, -3\mathrm{i}}[/tex].
