Bonjour,
La récurrence est une bonne idée mais, effectivement, une récurrence simple ne fonctionnera pas à cause du U(n-1).
Il faut faire ce qu'on appelle une récurrence double. Le principe est le même que pour une récurrence simple, mais on va supposer la propriété vraie aux deux rangs n et n-1 pour l'hérédité, au lieu de la supposer vraie qu'au rang n.
Montrons par récurrence double sur [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la propriété [tex]H(n) :"u_n \in \mathbb{N}"[/tex].
Initialisation : Attention, on doit initialiser sur les deux premiers rangs et pas un seul comme d'habitude !
H(0) et H(1) vraies.
Hérédité : Soit [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex] tel que H(n-1) et H(n) soient vraies.
Montrons H(n+1).
Par hypothèse de récurrence : [tex]u_{n-1} \in \mathbb{N}[/tex] (H(n-1)) et [tex]u_{n} \in \mathbb{N}[/tex] (H(n)).
Or :
[tex]u_{n+1}=\underset{\in \mathbb{N}}{\underbrace{u_n}}+2\underset{\in \mathbb{N}}{\underbrace{u_{n-1} }}[/tex]
donc [tex]u_{n+1} \in \mathbb{N}[/tex], d'où H(n+1).
Par récurrence double, H(n) est montrée pour tout [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
J'espère que c'était clair. N'hésite pas à demander des précisions.
