Bonjour,
1) - A l'étape 1, il n'y a qu'un seul carré de côté 4, donc d'aire 16; soit [tex]\boxed{a_1=16}[/tex].
- A l'étape 2, il y a le carré précédent plus un nouveau de côté 2 (donc d'aire 4). L'aire totale est 16+4=20 : [tex]\boxed{a_2=20}[/tex].
- De même : [tex]\boxed{a_3=21}[/tex] et [tex]\boxed{a_4=21+\frac{1}{4}=\frac{85}{4}=21,25}[/tex].
2) On va montrer ce résultat par récurrence sur [tex]n \in \mathbb{N}^*[/tex].
Pour cela, il nous faut d'abord une relation de récurrence définissant notre suite. On a clairement, pour [tex]n \ge 1[/tex] :
[tex]a_{n+1}=a_n+\Big(\frac{4}{2^n}\Big)^2=a_n+4^{2-n}[/tex].
Initialisation : n=1 -> [tex]a_1=16=\frac{64}{3}(1-\frac{1}{4})[/tex] OK.
Hérédité : Soit [tex]n \ge 1[/tex] tel que la propriété soit vraie au rang n. On va la montrer au rang n+1.
On a vu : [tex]a_{n+1}=a_n+4^{2-n}[/tex], donc, par HR :
[tex]a_{n+1}=\frac{64}{3} \left(1-\Big(\frac{1}{4} \Big)^n\right)+4^{2-n}=\frac{64}{3}-\frac{64}{3} \Big(\frac{1}{4} \Big)^n+\frac{16}{4^n}=\frac{64}{3}+\frac{1}{4^n}\Big(16-\frac{64}{3}\Big)[/tex]
donc : [tex]a_{n+1}=\frac{64}{3}+\frac{1}{4^n}\Big(-\frac{16}{3}\Big)=\frac{64}{3}+\frac{1}{4^{n+1}}\Big(-\frac{16\times 4}{3}\Big)[/tex] et donc :
[tex]a_{n+1}=\frac{64}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n+1}}\right)[/tex] d'où la propriété au rang n+1.
Par principe de récurrence :
[tex]\boxed{\forall n \ge 1, a_n=\frac{64}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right).}[/tex]
3) Je te laisse faire. C'est très facile...
4)a) Pour [tex]n \ge 1:[/tex]
[tex]a_{n+1}-a_n=4^{2-n} \ge 0[/tex] donc [tex]a_{n+1} \ge a_n[/tex] càd [tex]\boxed{(a_n) \text{ est croissante.}}[/tex].
b) On a vu [tex]a_n=\frac{64}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right).}[/tex] Donc [tex]\lim_{n \to \infty} a_n =\frac{64}{3}[/tex] car [tex]\left|\frac{1}{4}\right|<1[/tex].
Ainsi, [tex](a_n)[/tex] est croissante et converge vers 64/3. Elle est donc majorée par 64/3.
c) Je trouve [tex]\boxed{n_0=13}[/tex].
Rq : La borne supérieure ([tex]a_n-\frac{64}{3} \le 10^{-6}[/tex]) est complétement inutile puisqu'on a montré que, pour tout [tex]n \ge 1[/tex] : [tex]a_n-\frac{64}{3} \le 0[/tex]