bjr
g(x) = 2x³ - 7x² + x + 10
a)
g(2) = 2*8 - 7*4 + 2 + 10
= 16 - 28 + 12
28 - 28 = 0
g(2) = 0
b)
2 est une racine du polynôme
ce polynôme est de degré 3 il se factorise sous la forme
(x - 2) (ax² + bx + c) (1)
il faut développer (1) et identifier les coefficients de ce développement
avec ceux de 2x³ - 7x² + x + 10 (2)
• dans le développement de (1) le terme en x³ est
x * ax² = ax³
dans (2) on a 2x³ d'où a = 2
• dans le développement de (1) le terme constant est
-2* c = -2c
dans (2) c'est 10
-2c = 10 ; c = -5
(1) s'écrit : (x - 2) (2x² + bx -5)
il reste à calculer b
(x - 2) (2x² + bx - 5) = 2x³ + bx² -5x -4x² -2bx + 10
2x³ + (b - 4)x² + (-5 -2b)x + 10
dans (2) le coefficient de x² est -7 : b - 4 = -7
" x est 1 : -5 - 2b = 1
on choisit l'une des deux équations
b - 4 = -7 ; b = -7 + 4 ; b = -3
(on peut vérifier les calculs en utilisant la seconde)
-5 - 2b = 1
-5 - 1 = 2b
-6 = 2b
b = -3
d'où la factorisation
2x³ - 7x² + x + 10 = (x - 2)(2x² - 3x - 5)
c)
g(x) = 0 <=> (x - 2)(2x² -3x - 5) = 0
<=> (x - 2) = 0 ou (2x² - 3x - 5) = 0
• x - 2 = 0 ou •2x² - 3x - 5 = 0
x = 2 2(-1)² - 3(-1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0
une racine 2 -1 est une racine évidente x1 = -1
le produit des racines est c/a
x1 * x2 = -5/2
(-1) * x2 = -5/2
x2 = 5/2
deux racines -1 et 5/2
l'équation g(x) = 0 a trois solutions : 2 : -1 ; 5/2
S = {-1 ; 2 ; 5/2}