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Bonjour ! Je suis en Terminale Spe Maths et je bloque sur cet exercice.
J’ai trouvé la réponse en testant différents nombres mais je n’arrive pas à justifier mon résultat.

A et B sont 2 ensembles finis tels que Card(A^3xB^2)=3087. Déterminer Card(A) de Card(B) en justifiant.

J’ai donc trouvé A=7 et B=3

Merci par avance à celui ou celle qui m’aidera
Bonne soirée à tous

Sagot :

francoismareau

Bonsoir,

Il faut utiliser la propriété suivante :

Pour A et B deux ensembles finis : [tex]Card(A \times B)=Card(A) \times Card(B)[/tex].

Dans notre cas, on obtient :

[tex]Card(A^3\times B^2)=Card(A^3) \times Card(B^2)=Card(A)^3Card(B)^2=a^3b^2[/tex]

en notant [tex]a=Card(A)[/tex] et [tex]b=Card(B)[/tex].

On a donc : [tex]a^3b^2=3087[/tex] et on va décomposer 3087 en facteurs premiers : [tex]3087=7^3\times3^2[/tex] donc [tex]a^3b^2=7^3 \times3^2[/tex].

Attention à ne pas conclure trop vite ! Il faut utiliser l'unicité de la décomposition en facteurs premiers pour en déduire [tex]a=7[/tex] et [tex]b=3[/tex].

Ainsi, on obtient bien : [tex]Card(A)=7[/tex] et [tex]Card(B)=3[/tex].

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