Réponse :
Salut !
Effectivement, l'erreur que tu as commise, c'est de conclure abusivement sur une forme indéterminée, tu as un 0 * + l'infini donc on ne peut rien dire.
Du coup il faut lever l'indétermination. Soit tu connais le développement limité, soit on fait autrement.
Avec le DL :
[tex]\sqrt{x^2+x}-x = x\sqrt{1+\frac 1x}-x = x\left[1 +\frac{1}{2x} + o\left(\frac 1x\right)\right] -x= \frac 12 +o(1) \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} \frac 12[/tex]
Sans le DL : c'est plus compliqué mais on y arrive. On appelle f(x) ton expression.
[tex]\begin{array}{ccc}\\f(x)& =& x\left[\sqrt{1+\frac 1x}-1\right]\\\\&=& x \cdot \frac{\sqrt{1+\frac 1x} - \sqrt 1}{\left(1+\frac 1x\right) - 1}\cdot \frac 1x\\\\&=& \frac{1}{\sqrt{1+\frac 1x} + \sqrt 1} \underset{x\to +\infty}{\longrightarrow} \frac 12\end{array}[/tex]
Explications étape par étape
