Bonjour,
Je rappelle la définition suivante : a est multiple de b lorsqu'il existe un entier relatif k tel que [tex]a=k \times b[/tex].
1)a) Soit n un entier multiple de 12 : il existe un entier relatif k tel que [tex]n=12k[/tex], donc [tex]n=2\times (6k)=2\times k'[/tex] avec [tex]k'=6k[/tex] (k' est bien entier), donc n est multiple de 2.
De même, [tex]n=3 \times k''[/tex] avec [tex]k''=4k[/tex], donc n est multiple de 3.
b) La réciproque est fausse. Par exemple, n=6 est multiple de 2 et de 3 ([tex]6=2 \times 3[/tex]), mais n'est pas multiple de 12.
2)a) Soit n un entier multiple de 12 : il existe un entier relatif k tel que [tex]n=12k[/tex].
On a déjà vu que n est un multiple de 3.
C'est également un multiple de 4, car [tex]n=4 \times k'[/tex], avec [tex]k'=3k[/tex].
b) La réciproque est cette fois vraie. C'est une conséquence du lemme de Gauss :
Si n est multiple de 3 et de 4, il existe k et k' tels que : [tex]n=3k=4k'[/tex].
Donc 3 divise 4k', mais est premier avec 4, donc 3 divise k' : il existe un entier k'' tel que [tex]k'=3k''[/tex].
Ainsi, [tex]n=4\times 3 \times k''=12k''[/tex], donc n est multiple de 12.
Remarque : Plus généralement, on montre de même que, si n est multiple de a et de b, avec a et b premiers entre eux, alors n est multiple de ab.
