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Svp les gens j’ai posé cette question plus que trois fois mais aucune personne me répond

Svp Les Gens Jai Posé Cette Question Plus Que Trois Fois Mais Aucune Personne Me Répond class=

Sagot :

Tenurf

Bonjour,

1)

[tex]\text{Un carre est toujours positif, donc}\\\\(a-b)^2=a^2+b^2-2ab\geq 0\\\\\text{Comme }a^2+b^2=1\\ \\1-2ab\geq 0\\\\<=> 2ab\leq 1[/tex]

Comme a>0 et b>0 , et que La fonction carré est croissante sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex] donc nous pouvons écrire

[tex]0<2ab\leq 1\\\\<=> 1<1+2ab\leq 2\\\\<=> 1<a^2+b^2+2ab\leq 2\\\\<=> 1<(a+b)^2\leq 2\\\\<=> 1<(a+b)\leq \sqrt{2}[/tex]

Nous pouvons trouver a et b qui vérifient les conditions et pour lesquelles nous avons égalité

[tex]a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\a^2+b^2=1\\\\a+b=\sqrt{2}[/tex]

pour a différent de b nous avons l'inégalité stricte.

2)

Nous allons commencer par montrer que

[tex]ab\geq 4[/tex]

En effet, si je pose k = ab = a+b > 0 a et b sont solutions de l'équation suivante:

[tex](x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab=x^2-kx+k=0[/tex]

Mais, pour avoir des solutions réelles nous devons avoir le discriminant positif ou nul donc

[tex]\Delta=k^4-4k=k(k-4)[/tex]

Il est positif pour k supérieur ou égal à 4, donc

[tex]ab\geq 4[/tex]

Maintenant, écrivons ce que nous devons démontrer

[tex]\dfrac{a}{b^2+4}+\dfrac{b}{a^2+4}\geq \dfrac{1}{2}\\\\<=> \dfrac{a}{b^2+4}+\dfrac{b}{a^2+4}- \dfrac{1}{2}\geq0\\ \\<=>\dfrac{2a(a^2+4)+2b(b^2+4)-(a^2+4)(b^2+4)}{2(a^2+4)(b^2+4)}\geq 0[/tex]

Le dénominateur est toujours positif, nous devons regarder le signe du numérateur.

[tex]2a(a^2+4)+2b(b^2+4)-(a^2+4)(b^2+4)\\\\=2(a^3+b^3)+8(a+b)-a^2b^2-4(a^2+b^2)-16\\\\[/tex]

Nous pouvons voir que

[tex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2(a+b)\\\\<=>a^2+b^2=(a+b)^2-2(a+b)\\ \\(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\\\<=>a^3+b^3=(a+b)^3-3(a+b)^2[/tex]

Donc ce que nous devons regarder donne:

[tex]2(a^3+b^3)+8(a+b)-a^2b^2-4(a^2+b^2)-16\\ \\=2(a+b)^3-6(a+b)^2+8(a+b)-(a+b)^2-4(a+b)^2+8(a+b)-16\\\\=2(a+b)^3-11(a+b)^2+16(a+b)-16\\\\=2(ab)^3-11(ab)^2+16(ab)-16[/tex]

Etudions la fonction

[tex]f(x)=2x^3-11x^2+16x-16=(x-4)(2x^3-3x+4)[/tex]

et le discriminant est -23 <0 donc le deuxieme terme est toujours positif, donc

[tex](f(x)\geq 0) \ (\forall x\geq 4)[/tex]

Et comme [tex]ab\geq 4[/tex]

[tex]f(ab)\geq 0[/tex]

Et donc le numérateur est positif et donc on a l'inégalité.

[tex]\Large \boxed{\sf \bf \dfrac{a}{b^2+4}+\dfrac{b}{a^2+4}\geq \dfrac{1}{2}}[/tex]

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