Bonjour,
1)
[tex]\text{Un carre est toujours positif, donc}\\\\(a-b)^2=a^2+b^2-2ab\geq 0\\\\\text{Comme }a^2+b^2=1\\ \\1-2ab\geq 0\\\\<=> 2ab\leq 1[/tex]
Comme a>0 et b>0 , et que La fonction carré est croissante sur [tex]\mathbb{R}^+[/tex] donc nous pouvons écrire
[tex]0<2ab\leq 1\\\\<=> 1<1+2ab\leq 2\\\\<=> 1<a^2+b^2+2ab\leq 2\\\\<=> 1<(a+b)^2\leq 2\\\\<=> 1<(a+b)\leq \sqrt{2}[/tex]
Nous pouvons trouver a et b qui vérifient les conditions et pour lesquelles nous avons égalité
[tex]a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \\a^2+b^2=1\\\\a+b=\sqrt{2}[/tex]
pour a différent de b nous avons l'inégalité stricte.
2)
Nous allons commencer par montrer que
[tex]ab\geq 4[/tex]
En effet, si je pose k = ab = a+b > 0 a et b sont solutions de l'équation suivante:
[tex](x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab=x^2-kx+k=0[/tex]
Mais, pour avoir des solutions réelles nous devons avoir le discriminant positif ou nul donc
[tex]\Delta=k^4-4k=k(k-4)[/tex]
Il est positif pour k supérieur ou égal à 4, donc
[tex]ab\geq 4[/tex]
Maintenant, écrivons ce que nous devons démontrer
[tex]\dfrac{a}{b^2+4}+\dfrac{b}{a^2+4}\geq \dfrac{1}{2}\\\\<=> \dfrac{a}{b^2+4}+\dfrac{b}{a^2+4}- \dfrac{1}{2}\geq0\\ \\<=>\dfrac{2a(a^2+4)+2b(b^2+4)-(a^2+4)(b^2+4)}{2(a^2+4)(b^2+4)}\geq 0[/tex]
Le dénominateur est toujours positif, nous devons regarder le signe du numérateur.
[tex]2a(a^2+4)+2b(b^2+4)-(a^2+4)(b^2+4)\\\\=2(a^3+b^3)+8(a+b)-a^2b^2-4(a^2+b^2)-16\\\\[/tex]
Nous pouvons voir que
[tex](a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2(a+b)\\\\<=>a^2+b^2=(a+b)^2-2(a+b)\\ \\(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)\\\\<=>a^3+b^3=(a+b)^3-3(a+b)^2[/tex]
Donc ce que nous devons regarder donne:
[tex]2(a^3+b^3)+8(a+b)-a^2b^2-4(a^2+b^2)-16\\ \\=2(a+b)^3-6(a+b)^2+8(a+b)-(a+b)^2-4(a+b)^2+8(a+b)-16\\\\=2(a+b)^3-11(a+b)^2+16(a+b)-16\\\\=2(ab)^3-11(ab)^2+16(ab)-16[/tex]
Etudions la fonction
[tex]f(x)=2x^3-11x^2+16x-16=(x-4)(2x^3-3x+4)[/tex]
et le discriminant est -23 <0 donc le deuxieme terme est toujours positif, donc
[tex](f(x)\geq 0) \ (\forall x\geq 4)[/tex]
Et comme [tex]ab\geq 4[/tex]
[tex]f(ab)\geq 0[/tex]
Et donc le numérateur est positif et donc on a l'inégalité.
[tex]\Large \boxed{\sf \bf \dfrac{a}{b^2+4}+\dfrac{b}{a^2+4}\geq \dfrac{1}{2}}[/tex]