Bonjour,
1)a)
L'idée de cet exo est de montrer que la limite de la suite est 2.
On va chercher à encadrer [tex]|u_n-2|[/tex] et montrer que c'est "petit" dès que n est grand.
Pour clarifier,
[tex]|u_n-2|<0,01<=>u_n \in ]1,99;2,01[[/tex]
Allons-y ! Prenons n un entier non nul
[tex]u_n-2=\dfrac{1}{\sqrt{n}}[/tex]
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{n}}<0,01<=>100=\dfrac{1}{0,01}<\sqrt{n}<=>n > 100^2=10000[/tex]
Nous pouvons donc écrire
Quel que soit n un entier non nul, il existe [tex]n_0[/tex] = 10001 tel que pour tout
[tex]n\geq n_0[/tex]
On a
[tex]|u_n-2|=\dfrac{1}{\sqrt{n}}<0,01<=>u_n \in ]1,99;2,01[[/tex]
b) Maintenant, on fait pareil mais on remplace 0,01 par epsilon.
[tex]\dfrac{1}{\sqrt{n}}<\epsilon <=> \dfrac{1}{\epsilon}<\sqrt{n}<=>n>\dfrac{1}{\epsilon^2}[/tex]
Donc, nous pouvons écrire
Quel que soit epsilon un nombre strictement positif, il existe un entier
[tex]n_2[/tex],
égal à la partie entière de
[tex]\dfrac{1}{\epsilon^2}[/tex]
auquel je rajoute 1 tel que pour tout n
[tex]n\geq n_2=>|u_n-2|<\epsilon <=> u_n \in ]2-\epsilon;2+\epsilon[[/tex]
2)
Nous pouvons formaliser les résultats des questions précédentes par
[tex](\forall \epsilon \in \mathbb{R^{+*}}) (\exists \ N \in \mathbb{N});(\forall n \in \mathbb{N})\\\\(n\geq N)=>(|u_n-2|<\epsilon)[/tex]
On peut prendre epsilon aussi petit que l'on veut on trouvera toujours un rang N tel que à partir de ce rang la difference entre les termes de la suite et 2 sont inférieurs à epsilon. Ce qui veut dire que la limite de la suite est 2.
[tex]\Large \boxed{\sf \bf \lim_{n\rightarrow+\infty} u_n = 2 }[/tex]
Merci
