Bonjour,
1)
[tex](u+v)^3=(u+v)(u+v)^2\\\\=(u+v)(u^2+2uv+v^2)\\\\=u^3+2u^2v+uv^2+u^2v+2uv^2+v^3\\\\\boxed{=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3}[/tex]
2)
Remplaçons x par x = u+v
[tex](u+v)^3=u^3+3u^2v+3uv^2+v^3=15(u+v)+4\\\\=15u+15v+4\\ \\<=> u^3+v^3+3uv(u+v)-15(u+v)-4=0\\ \\<=>u^3+v^3+3(u+v)(uv-5)-4=0[/tex]
3) uv = 5 cela donne
[tex]u^3+v^3-4=0<=> u^3+v^3=4[/tex]
et aussi
[tex]u^3\times v^3=(uv)^3=5^3=125[/tex]
Pour info (non demandé par l'énoncé):
Si jamais on pose [tex]U=u^3[/tex] et [tex]V=v^3[/tex]
alors U et V vérifient
[tex]U+V=4\\\\UV=125[/tex]
Ce sont donc les racines de ce polynôme.
[tex](x-U)(x-V)=x^2-(U+V)x+UV=x^2-4x+125=0[/tex]
Ce qui explique la question suivante
4)
[tex]\Delta=4^2-4\times 125=4(4-125)=-4\times 121 = -484=(22i)^2[/tex]
Le discriminant est négatif, il n'y a pas de solutions réelles, mais on peut expliciter deux racines complexes.
[tex]x_1=\dfrac{4-22i}{2}=2-11i\\\\x_2=\dfrac{4+22i}{2}=2+11i[/tex]
(non demandé par l 'énoncé)
Et on peut faire le lien avec la première équation.
[tex]x=u+v=\sqrt[3]{2+11i}+\sqrt[3]{2-11i}[/tex] est solution de
[tex]x^3=15x+4[/tex]
Merci
