Réponse:
Bonjour
Ex 3.
Premiere méthode
1) la suite (Un) semble tendre vers 20. (voir photo)
2)a)
[tex]v_{n +1} = u_{n +1} - 20 \\ v_{n +1} = 0.6u_{n } + 8 - 20 \\ v_{n +1} = 0.6(v_{n } + 20) + 8 - 20 \\ v_{n +1} = 0.6v_{n } + 12 - 12 \\ v_{n +1} = 0.6v_{n}[/tex]
la suite (Vn) est geometrique de raison 0,6 et de terme initial Vo = Uo - 20 = 141
2b)
Vn = Vo×qⁿ
Vn = 141×0,6ⁿ, pour tout entier naturel n.
2c)
lim(0,6ⁿ) = 0 car lim(qⁿ) =0 avec 0< q < 1
n→+∞ n→+∞
lim(141×0,6ⁿ)=0 par produit de limites
n→+∞
lim(Vn) = 0
n→+∞
lim(Un-20)=0
n→+∞
lim(Un)=20
n→+∞
Deuxieme methode :
1) Soit P(n) la propriété Un ≥ 20
Initialisation
Uo=161
Uo ≥ 20
P(0) est vraie
Heredité
Supposons la propriété vraie pour un entier naturel p.
Up ≥ 20
0,6Up ≥ 0,6×20
0,6Up + 8 ≥ 12 +8
Up+1 ≥ 20
P(p+1) est vraie.
Conclusion :
la propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire donc pour tout entier naturel n, Un ≥ 20.
2)
Un-1 - Un = 0,6Un + 8 - Un
= -0,4Un +8
or Un ≥ 20
-0,4Un ≤ -8
-0,4Un +8 ≤ 0
Un+1 - Un ≤ 0
La suite (Un) est décroissante.
3) la suite (Un) est décroissante et minorée par 20 donc la suite (Un) converge.
non demandé :
non demandé :Soit l sa limite
non demandé :Soit l sa limitel=0,6l+8
non demandé :Soit l sa limitel=0,6l+80,4l =8
non demandé :Soit l sa limitel=0,6l+80,4l =8l=20
non demandé :Soit l sa limitel=0,6l+80,4l =8l=20la limite de la suite est 20.
Exercice 4 :
Initialisation
0² = 0
et
0(0+1)(2×0+1)/6 = 0
P(0) est vraie.
2a)
P(k+1) :
1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6
2b)
1²+2²+...+k² = k(k+1)(2k+1)/6
1²+2²+...+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
1²+2²+...+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + 6(k+1)²/6
1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)[(k(2k+1)+6(k+1)]/6
1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)[2k²+k+6k+6]/6
1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)(2k²+7k+6)/6
or (k+2)(2k+3)=2k²+3k+4k+6
= 2k² +7k+6
donc
1²+2²+...+k²+(k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6
P(k+1) est vraie.
3) la propriété est vraie au rang 0 et est hereditaire donc pour tout entier naturel n,
1²+2²+...+n²= n(n+1)(2n+1)/6
