Réponse :
1) soit un entier a tel que a² est pair montrer que a est pair
montrer (n² pair ⇒ n est pair) ⇔ (n impair ⇒ n² impair) c'est la contraposée
soit a : impair ⇒ a = 2 k + 1 avec k entier
⇒ a² = (2 k + 1)² = 4 a² + 4 a + 1 = 2(2 k² + 2 k) + 1
a² = 2 k' + 1 avec k' = 2 k² + 2 k ; k' entier
donc a² est impair
puisque c'est la même donc : a² pair ⇒ a pair
2) les trois côtés d'un triangle rectangle sont des nombres entiers, montrer qu'au moins un de ces nombres est pair
a, b , c entiers , on suppose b et c impair et a pair et a > b et c
d'après le th.Pythagore on peut écrire a² = b² + c²
b impair ⇒ b = 2 k + 1 k entier
c impair ⇒ c = 2 k' + 1 k' entier
a² = (2 k + 1)² + (2 k' + 1)²
= 4 k² + 4 k + 1 + 4 k'² + 4 k' + 1
= 2 (2k² + 2 k'² + 2 k + 2 k' + 1) posons k" = (2k² + 2 k'² + 2 k + 2 k' + 1)
k" entier
a² = 2 k" puisque a² est pair ⇒ donc a est pair , donc au moins un côté est pair
Explications étape par étape
