Bonjour,
1)
[tex]u_0=0\\\\u_1=\dfrac{3u_0+2}{u_0+4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\\\\u_2=\dfrac{3u_1+2}{u_1+4}=\dfrac{3/2+2}{1/2+4}=\dfrac{3+4}{1+8}=\dfrac{7}{9}\\\\u_3=\dfrac{3u_2+2}{u_2+4}=\dfrac{3(7/9)+2}{7/9+4}=\dfrac{21+18}{7+36}=\dfrac{39}{43}\\\\[/tex]
Est-ce une suite arithmétique?
[tex]u_1-u_0=\dfrac{1}{2}\\ \\u_2-u_1=\dfrac{7}{9}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{14-9}{18}=\dfrac{5}{18}[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n[/tex] n'est pas constant donc, ce n'est pas une suite arithmétique.
Est-ce une suite géométrique?
[tex]\dfrac{u_3}{u_2}=\dfrac{39*9}{43*7}\\\\\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{7*2}{9}[/tex]
Le rapport [tex]\dfrac{u_{n+1}}{u_n}[/tex] n'est pas constant, donc ce n'est pas une suite géométrique.
2)
Essayons d'évaluer le terme au rang n+1 en fonction du terme au rang n.
[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\\\v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+2}=\dfrac{\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}-1}{\dfrac{3u_n+2}{u_n+4}+2}\\\\=\dfrac{3u_n+2-u_n-4}{3u_n+2+2u_n+8}\\\\=\dfrac{2u_n-2}{5u_n+10}\\\\=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{u_n-1}{u_n+2}\\\\=\dfrac{2}{5}v_n[/tex]
Donc cette suite est géométrique de raison 2/5 et de premier terme
[tex]v_0=-\dfrac{1}{2}[/tex]
b) Nous pouvons appliquer le résultat du cours
[tex]\large \boxed{\sf \bf v_n=v_0\left( \dfrac{2}{5} \right)^n=-\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{2}{5} \right)^n}[/tex]
c)
[tex]v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+2}\\\\<=> (u_n+2)v_n=u_n-1\\\\<=> (v_n-1)u_n=-1-2v_n\\\\<=>\large \boxed{\sf \bf u_n=\dfrac{1+2v_n}{1-v_n}}[/tex]
et donc, en remplaçant v(n) par son expression
[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\\\u_n=\dfrac{1-\left( \dfrac{2}{5}\right)^n}{1+\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{2}{5}\right)^n}\\\\\Large \boxed{\sf \bf u_n=\dfrac{5^n-2^n}{5^n+2^{n-1}}}[/tex]
Merci
