Réponse :
{U₀ = 1
{Un+1 = - 3Un + 2
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n;
on a, Un = 1/2)(-3)ⁿ + 1/2
Initialisation : vérifions que pour n = 0 P(0) est vraie
n = 0 , on a, U₀ = 1/2)(-3)⁰ + 1/2 = 1/2) + 1/2 = 2/2 = 1
donc pour n = 0 P(0) est vraie
hérédité : on suppose que pour tout entier naturel n, P(n) est vraie c'est à dire Un = 1/2)(-3)ⁿ + 1/2 et on veut montrer que P(n+1) est vraie, c'est à dire
Un+1 = 1/2(-3)ⁿ⁺¹ + 1/2
puisque Un+1 = - 3Un + 2
= - 3((1/2)(-3)ⁿ + 1/2) + 2
= 1/2) x (- 3) x (- 3)ⁿ - (3/2) + 2
= 1/2)(- 3)ⁿ⁺¹ + 1/2
Conclusion : pour n = 0 ; P(0) est vraie et P(n) est vraie par hérédité
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
Explications étape par étape