Bonjour,
a)
[tex]\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\\\\<=>\left( \sqrt{2} \right) ^2=\left( \dfrac{p}{q} \right) ^2\\\\<=> 2 = \dfrac{p^2}{q^2}\\\\<=>p^2=2q^2[/tex]
b)
[tex]p^2[/tex] est pair comme il est un multiple de 2.
2.a)
Si le dernier chiffre de p est 0, le dernier chiffre de [tex]p^2[/tex] est 0
Si le dernier chiffre de p est 1, le dernier chiffre de [tex]p^2[/tex] est 1
Si le dernier chiffre de p est 2, le dernier chiffre de [tex]p^2[/tex] est 4
Si le dernier chiffre de p est 3, le dernier chiffre de [tex]p^2[/tex] est 9
Si le dernier chiffre de p est 4, le dernier chiffre de [tex]p^2[/tex] est 6
Si le dernier chiffre de p est 5, le dernier chiffre de [tex]p^2[/tex] est 5
Si le dernier chiffre de p est 6, le dernier chiffre de [tex]p^2[/tex] est 6
Si le dernier chiffre de p est 7, le dernier chiffre de [tex]p^2[/tex] est 9
Si le dernier chiffre de p est 8, le dernier chiffre de [tex]p^2[/tex] est 4
Si le dernier chiffre de p est 9, le dernier chiffre de [tex]p^2[/tex] est 1
b) Les derniers chiffres possibles pour [tex]p^2[/tex] sont 0, 1, 4, 5, 6, 9
3.
Si le dernier chiffre de q est 0, le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 0
Si le dernier chiffre de q est 1, le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 2
Si le dernier chiffre de q est 2, le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 8
Si le dernier chiffre de q est 3, le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 8
Si le dernier chiffre de q est 4, le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 2
Si le dernier chiffre de q est 5, le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 0
Si le dernier chiffre de q est 6, le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 2
Si le dernier chiffre de q est 7, le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 8
Si le dernier chiffre de q est 8, le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 2
Si le dernier chiffre de q est 9, le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 2
4. a) Les derniers chiffres possibles pour 2[tex]q^2[/tex] sont 0, 2, 8
Comme [tex]p^2=2q^2[/tex], il ne reste que 0 comme dernier chiffre possible pour [tex]p^2[/tex] et donc le dernier chiffre de p est 0
Comme le dernier chiffre de 2[tex]q^2[/tex] est 0, les derniers chiffres possibles de q sont 0 ou 5
b) Nous savons que les nombres dont le dernier chiffre est 0 ou 5 sont divisibles par 5 et donc p et q sont divisibles par 5.
C'est en contradiction avec p/q forme irréductible, donc c'est impossible. Donc notre hypothèse de départ est fausse donc [tex]\sqrt{2}[/tex] est irrationnel !!
Merci
