Réponse :
Bonjour, un bon exercice classique de révisions dans lequel il manque les limites aux bornes du domaine de définition (Df)
Explications étape par étape
f(x)=(4 x+3)/(x+1)
1a) domaine de définition: Df=R-{-1} car la division par 0 est impossible.
limites si x tend vers -oo ou+oo f(x) tend vers 4x/x=4
si x tend vers -1(avec x<-1), f(x) tend vers -1/0-=+oo
si x tend vers -1 (avec x<-1), f(x) tend vers -1/0+=-oo
1b)L'abscisse du point K est la solution de f(x)=0 soit 4x+3=0 donc x=-3/4
K(-3/4; 0)
L'ordonnée du point L est l'image de 0 par f soit f(0)= 3 donc L(0; 3).
2a) Dérivée f(x) est une fonction quotient u/v sa dérivée est de la forme (u'v-v'u)/v²
f'(x)=[4(x+1)-1(4x+3)]/(x+1)²=1/(x+1)² . On note que cette dérivée est toujours >0 donc f(x) est croissante sur son Df
2b) Tableau de signes de f'(x) de variations de f(x)
x -oo -1 +oo
f'(x)...........................+.........................II...............+...........................
f(x) 4...................croi................+oo II-oo.........croi.....................4.
2c) Equation de la tangente à Cf en L (0; 3). Appliquons la formule
y=f'(0)(x-0)+f(0)=1(x+0)+3 y=x+3
2d) f(x) admet des tangentes horizontales si f'(x)=0 a des solutions ; or on a noté que f'(x) est toujours >0. Il n'y a pas de tangente horizontale par contre la droite d'équation y=4 est une asymptote horizontale.
3)tracé facile même manuellement
4) (d) y=4x+2020
Les tangentes à (Cf ) // (d) ont un coefficient directeur =4 ce sont les solutions de f'(x)=4 soit 1/(x+1)²=4
ce qui donne 4(x²+2x+1)=1 ou 4x²+8x+3=0
Via delta on calcule les solutions de cette équation
delta=16 solutions x1=(-8-4)/8= -3/2 et x2=(-8+4)/8=-1/2
Il y a donc deux tangentes à(Cf) //à(d)
5)Si la courbe (Cf) et la droite (D) d'équation y=x ont des points d'intersection, ces derniers ont pour abscisses les solutions de l'équation f(x)=x
soit (4x+3)/(x+1)=x ce qui donne 4x+3=x(x+1) ou -x²+3x+3=0
via delta =21 solutions x3=(-3- V21)/-2=3,8(environ) et x4=(-3+V21)/-2=-0,8 (environ)
Ces points appartenant à (D) y=x ,ils ont pour oordonnées les mêmes valeurs que les abscisses x3 et x4.