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Sagot :
Réponse :
Explications étape par étape
[tex]S_1\,=\,\frac{1}{4\,\times\,1^{\,2}\,-\,1}\,=\,\frac{1}{3}[/tex]
[tex]S_2\,=\,\frac{1}{4\,\times\,1^{\,2}\,-\,1}\,+\,\frac{1}{4\,\times\,2^{\,2}\,-\,1}\,=\,\frac{1}{3}\,+\,\frac{1}{15} = \frac{2}{5}[/tex]
[tex]S_3\,=\,\frac{1}{4\,\times\,1^{\,2}\,-\,1}\,+\,\frac{1}{4\,\times\,2^{\,2}\,-\,1}\,+\,\frac{1}{4\,\times\,3^{\,2}\,-\,1}\,=\,\frac{1}{3}\,+\,\frac{1}{15}\,+\,\frac{1}{35} = \frac{3}{7}[/tex]
Montrons par récurrence que pour tout entier n ≥ 1, [tex]S_n=\,\frac{n}{2\,n+1}[/tex]
La propriété est vérifiée pour n = 1
Montrons pour tout entier que si [tex]S_n=\,\frac{n}{2\,n+1}[/tex] alors [tex]S_{n+1}=\,\frac{n+1}{2\,(n+1)+1}=\,\frac{n+1}{2\,n+3}[/tex]
[tex]S_{n+1}=S_n+\frac{1}{4(n+1)^2-1}=S_n+\frac{1}{4n^2+8n+3}[/tex]
[tex]S_{n+1}=\frac{n}{2n+1}+\frac{1}{4n^2+8n+3}[/tex]
or [tex]4n^2+8n+3=(2n+1)(2n+3)[/tex] (équation du second degré)
donc [tex]S_{n+1}=\frac{n(2n+3)}{(2n+1)((2n+3)}+\frac{1}{(2n+1)((2n+3)}[/tex]
[tex]S_{n+1}=\frac{2 n^2+3n+1}{(2n+1)((2n+3)}[/tex]
or [tex]2n^2+3n+1=(2n+1)(n+1)[/tex] (équation du second degré) donc [tex]S_{n+1}=\,\frac{n+1}{2\,n+3}[/tex]
La propriété est initialisée et héréditaire donc est vérifiée pour tout entier n ≥ 1,
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