Bonjour,
1.
Dire que 2 est racine de P(x) veut dire que P(2)=0.
Calculons P(2)=6*(2*2*2)-13*(2*2)+4=48-52+4=0
Donc 2 est bien une racine.
2. Cela veut dire aussi que nous pouvons mettre (x-2) en facteur, il existe un polynôme Q tel que
[tex]P(x)=(x-2)Q(x)[/tex]
On peut faire un peu de calcul mental pour trouver Q(x).
Déjà son degré est 2, donc c'est de la forme [tex]ax^2+bx+c[/tex]
Mais comme le coefficient de [tex]x^3[/tex] de P(x) est 6 du coup a est forcément 6
Et comme le terme constant de P(x) est 4 c est forcément -2 car -2*-2=4
Donc il nous reste plus que le terme en x et on aura déjà [tex]-12x^2[/tex] venant du développment avec le terme en [tex]ax^2[/tex] et au final nous devons avoir -13 il manque -1, et donc
[tex]P(x)=(x-2)(6x^2-x-2)[/tex]
Sinon, on aurait aussi pu écrire Q(x) comme [tex]ax^2+bx+c[/tex], développer et identifier les termes des polynômes.
Maintenant, il faut trouver les racines manquantes.
[tex]\Delta=b^2-4ac=1+4*2*6=49=7^2\\\\x_1=\dfrac{1-7}{12}=\dfrac{-6}{12}=-\dfrac{1}{2}\\\\x_2=\dfrac{1+7}{12}=\dfrac{2}{3}[/tex]
Les solutions de P(x) = 0 sont donc
[tex]\large \boxed{\sf \bf 2; \ \dfrac{2}{3}; \ -\dfrac{1}{2}}[/tex]
Il s'agit de trouver le signe d'un produit de 3 termes. Et si on faisait un tableau de signes !?
[tex]\left|\begin{array}{c|ccccccc}-x&...&-1/2&...&2/3&...&2&...\\---&---&---&---&---&---&---&---\\(x+1/2)&-&0&+&&+&&+\\---&---&---&---&---&---&---&---\\(x-2/3)&-&&-&0&+&&+\\---&---&---&---&---&---&---&---\\(x-2)&-&&-&&-&0&+\\---&---&---&---&---&---&---&---\\P(x)&-&0&+&0&-&0&+\\\end{array}\right|[/tex]
Donc les solutions à l'équation P(x)<0 sont
[tex]\boxed{\sf \bf \ ]-\infty;-1/2[\cup]2/3;2[ \ }[/tex]
3. On va essayer d'être malin et regarder la différence, c'est-à-dire
[tex]P(x)-3x^2(x-2)=(x-2)(6x^2-x-2-3x^2)=(x-2)(3x^2-x-2)[/tex]
[tex]\Delta=1+2*4*3=25=5^2\\\\x_1=\dfrac{1-5}{6}=-\dfrac{2}{3}\\\\x_2=\dfrac{1+5}{6}=1[/tex]
Un petit tableau de signes que voici
[tex]\left|\begin{array}{c|ccccccc}-x&...&-2/3&...&1&...&2&...\\-------&---&---&---&---&---&---&---\\(x+2/3)&-&0&+&&+&&+\\-------&---&---&---&---&---&---&---\\(x-1)&-&&-&0&+&&+\\-------&---&---&---&---&---&---&---\\(x-2)&-&&-&&-&0&+\\-------&---&---&---&---&---&---&---\\P(x)-3x^2(x-2)&-&0&+&0&-&0&+\\\end{array}\right|[/tex]Les solutions sont donc
[tex]\boxed{\sf \bf \ ]-\infty;-2/3]\cup[1;2] \ }[/tex]
Merci
