Bonjour, calculons les premiers termes de la suite.
Pas besoin d 'une calculatrice de malade pour faire quelques additions et multiplications.
[tex]u_1=1\\u_2=u_1+2+1=4\\u_3=u_2+4+1=9\\u_4=u_3+6+1=16\\u_5=u_4+8+1=25\\u_6=u_5+10+1=36\\u_7=u_6+12+1=49\\u_8=u_7+14+1=64\\u_9=u_8+16+1=81\\u_{10}=u_9+18+1=100[/tex]
Dis donc ! ça ressemble à des carrés parfaits ces trucs là !
2.a.
Je fais la conjecture que
[tex]u_n=n^2[/tex] pour tout n entier différent de 0
b.
Etape 1 - c'est vrai pour n = 1, en effet [tex]u_1=1=1^2[/tex]
Etape 2 - Supposons que cela soit vrai au rang k et démontrons que cela reste vrai au rang k+1
[tex]u_{k+1}=u_k+2k+1=k^2+2k+1[/tex]
par hypothèse de récurrence et
[tex]u_{k+1}=u_k+2k+1=k^2+2k+1=(k+1)^2[/tex]
Fantastique ! c'est l 'expression au rang k+1
Etape 3 - Conclusion
Nous venons donc de démontrer que pour tout n entier non nul
[tex]\Large \boxed{\sf \bf u_n=n^2}[/tex]
Si jamais tu as des doutes sur la démonstration par récurrence, imagine que tu dois peindre les arbres au bord d'une route et que je te donne deux instructions:
1. Le premier arbre doit être peint en blanc
2. Si un arbre est en blanc tu dois peindre le suivant en blanc
A ton avis, de quelle couleur seront les arbres ?
Est-ce que tu vois pourqoi les deux étapes sont importantes?
Merci
