Réponse :
EX1
U0 = 1
Un+1 = - Un + n - 2
Calculer U1 ; U2 ; U3 ; U4
U1 = - U0 + 0 - 2 = - 1 + 0 - 2 = - 3
U2 = - U1 + 1 - 2 = - (- 3) + 1 - 2 = 2
U3 = - U2 + 2 - 2 = - 2
U4 = - U3 + 3 - 2 = 3
EX2
Un = (3 n - 1)/(3 n + 2) pour tout entier naturel n
déterminer le sens de variation de la suite Un de deux manières différentes
Un+1 - Un = (3(n+1) - 1)/(3(n+1) + 2) - (3 n - 1)/(3 n + 2)
= (3 n + 2)/(3 n + 5) - (3 n - 1)/(3 n + 2)
= ((3 n + 2)² - (3 n - 1)(3 n + 5))/(3 n +5)(3 n + 2)
= (9 n² + 12 n + 4 - 9 n² - 12 n + 5)/(3 n +5)(3 n + 2)
donc Un+1 - Un = 9/(3 n +5)(3 n + 2) > 0 pour tout entier naturel n
donc la suite (Un) est croissante sur N
2ème méthode Un = f(n) définie sur [0 ; + ∞[
donc f(x) = (3 x - 1)/(3 x + 2) définie sur [0 ; + ∞[ ; la fonction f est dérivable sur [0 ; + ∞[ où f '(x) = [3(3 x + 2) - 3(3 x - 1)]/(3 x + 2)²
f '(x) = (9 x + 6 - 9 x + 3)/(3 x + 2)²
f '(x) = 9/(3 x + 2)² or (3 x + 2)² > 0 et 9 > 0 donc f '(x) > 0 donc la fonction f est croissante sur [0 ; + ∞[ alors la suite (Un) est donc croissante sur N
Explications étape par étape
