Explications étape par étape:
Salut, pas si évident, tu n'as pas eu de cours dessus auparavant ?
Je pense qu'en te demandant d'écrire explicitement tes sommes, on veut te dire de les écrire sans le symbole somme. Dans le doute, je te mets les calculs :
A) Soit P(X) = (X+1)^3 - X^3, un polynôme. En remplaçant X par k, on obtient P(k) = (k+1)^3 - k^3. Ensuite, en effectuant la somme pour k allant de 0 à n de P(k), il s'agit d'une somme télescopique, donc Somme de P(k) = (n+1)^3 (il ne reste que le 1er terme qui vaut 0, et le dernier en (n+1)).
Cependant, P(k) = 3k^2 + 3k + 1 en simplifiant, donc Somme de P(k) = Somme de [3k^2 + 3k + 1] = 3*Sn + 3n(n+1)/2 + (n+1).
Cette somme est égale à la précédente, donc :
(n+1)^3 = 3*Sn + 3n(n+1)/2 + (n+1) d'où 3*Sn = (n+1)[(n+1)^2 - 1] - 3n(n+1)/2 = n(n+1)(n+2) - 3n(n+1)/2 = n(n+1)*[n+2 - (3/2)] = n(n+1)*[n+(1/2)] = n(n+1)*[(2n+1)/2].
Donc en divisant par 3, on déduit :
Sn = n(n+1)(2n+1) / 6.
Il s'agit de la méthode astucieuse, faisant appel à un polynôme bien choisi. Sans ça, tu es contraint de passer à la récurrence, donc d'avoir une idée de la somme.
B) Tn = Somme de k(k+1) = Sn + Somme de k = n(n+1)(2n+1) / 6 + n(n+1)/2 = n(n+1)*[2n+1+3]/6 = n(n+1)(2n+4) / 6 = n(n+1)(n+2) / 3.
C) Série harmonique, impossible à expliciter avec une formule de calcul simple.
D) Après réduction, on retombe sur une série harmonique, impossible à calculer.
Tu as donc 2 sommes où il te faudra écrire tous les termes, je te laisse finir la suite
